Complemento ortogonale

[namfjushi]

Ciao!
Ho un dubbio sul complemento ortogonale: so che su uno spazio V con prodotto scalare definito positivo vale
\(\displaystyle V = W \oplus W^\perp \)
Mi chiedevo se ci fossero altre relazioni simili anche per prodotti, più in generale, non degeneri, o per prodotti semidefiniti.
Grazie in anticipo

[megas_archon]

Se \(g : V\times V\to k\) è bilineare (su k di caratteristica non 2), supponi che ci sia un vettore non nullo in \(W\cap W^\perp\), diciamo \(u\); allora \(g(u,u)=0\), e allora $g$ è degenere.

[namfjushi]

Ciao, grazie! So cos'è un prodotto degenere, mi chiedevo piuttosto se ci fossero, in questi casi, delle relazioni di scomposizione dello spazio che coinvolgono il complemento ortogonale o il radicale (e quindi anche le dimensioni).

[megas_archon]

Quello che ti ho mostrato sopra è che quando g è non degenere, un sottospazio e il suo ortogonale sono in somma diretta (in effetti, è un se e solo se). In generale, se $g$ è simmetrica o antisimmetrica, ed R è il radicale di $g$, allora \[\dim W + \dim W^\perp = \dim V + \dim(W\cap R)\]

[namfjushi]

Ora ho capito, grazie mille!