Teorema di Laplace

[Yuyu_13]

Buona domenica.

Sto studiando il teorema di Laplace dal libro Ciro Ciliberto-Algebra lineare.
In particolare, nel passaggio in cui viene dimostrato che l'applicazione

$f:A in M_n(mathbb{K}) to sum_(j=1)^n a_(ji)A_(ji)$

è alternante ci sono due punti che non mi risultano chiari che di seguito riporto.

Per il seguito indico con $A_(ij)$ indico il complemento algebrico di $A$ relativo all'elemento di posto $(i,j)$
invece, con $A^(ij)$ determinante della sottomatrice di $A$ ottenuta cancellando la riga $i$ e la colonna $j$.

Sia $A in M_n(mathbb{K})$ con due righe uguali $l,m$ dove $l
Dunque, $a_(lj)=a_(mj)$ per $j=1,...,n$.
Per ipotesi induttiva, si $A_(ij)=0$ quando $i ne l,m$

D'altra parte, cancellando da $A$ una qualunque colonna e la riga l'esima si ottiene la stessa matrice che si otterrebbe cancellando da $A$ sempre la stessa colonna e la riga $m$-esima e poi scambiandone successivamente la riga $l$-esima con le righe successive fino a metterla al posto $m-1$.
Perché al posto $m-1$? non dovrebbe essere al posto $m$

Questo è il mio primo dubbio, invece, il secondo riguarda

$A_(lj)=^mbox{def}(-1)^(l+j)A^(lj)=^1(-1)^(m-1-l)[(-1)^(m-1-l)A_(mj)]=^2-(-1)^(m-1-l)A^(mj)=^3-A_(mj)$

le uguaglianze $1,2,3$ non mi sono chiare.

La $2$ non potrebbe essere scritta come $(-1)^(m-1-l)[(-1)^(m-1-l)A_(mj)]=(-1)^(2(m-1-l))A_(mj)=A_(mj)=(-1)^(m+j)A^(mj)$

Saluti.

[Quinzio]

"Yuyu_13":Buona domenica.
D'altra parte, cancellando da $A$ una qualunque colonna e la riga l'esima si ottiene la stessa matrice che si otterrebbe cancellando da $A$ sempre la stessa colonna e la riga $m$-esima e poi scambiandone successivamente la riga $l$-esima con le righe successive fino a metterla al posto $m-1$.
Perché al posto $m-1$? non dovrebbe essere al posto $m$

Qui il testo e' corretto. La riga $m$ l'hai appena cancellata, quindi la riga $l$ "scende", attraverso degli scambi con la riga successiva, fino allo scambio con la $m-1$.
Prendi questo esempio
$... "l 4 5 6 (m-1) m" ...$
Cancello la $m$
$... "l 4 5 6 (m-1)" ...$
e faccio gli scambi
$... ""l" 4 5 6 (m-1)" ...$
$... "4 "l" 5 6 (m-1)" ...$
$... "4 5 "l" 6 (m-1)" ...$
$... "4 5 6 "l" (m-1)" ...$
$... "4 5 6 (m-1) "l"" ...$
fermandomi allo scambio con la $(m-1)$.

Questo è il mio primo dubbio, invece, il secondo riguarda

$A_(lj)=^mbox{def}(-1)^(l+j)A^(lj)=^1(-1)^(m-1-l)[(-1)^(m-1-l)A_(mj)]=^2-(-1)^(m-1-l)A^(mj)=^3-A_(mj)$

le uguaglianze $1,2,3$ non mi sono chiare.

La $2$ non potrebbe essere scritta come $(-1)^(m-1-l)[(-1)^(m-1-l)A_(mj)]=(-1)^(2(m-1-l))A_(mj)=A_(mj)=(-1)^(m+j)A^(mj)$

Saluti.

In effetti in quella riga sembra che l'autore abbia fatto confusione.

A mio avviso la dimostrazione potrebbe procedere nel modo seguente.
Si parte da questa:
1) $\bar{A}^{lj} = (-1)^{m-1-l}\bar{A}^{mj}$.
Ovvero il minore complementare $\bar{A}^{lj}$ equivale al minore complementare $\bar{A}^{mj}$ a cui seguono $m-1-l$ scambi tra due righe consecutive, il che sarebbe la riga $l$ che "scende" fino alla $m-1$. Ogni scambio inverte il segno.

Poi vale in generale $(-1)^x(-1)^x = 1$ da cui $(-1)^x = 1/(-1)^x $

e quindi valgono le
$A_{lj} = (-1)^{l+j} \bar{A}^{lj}$
$\bar{A}^{lj} = (-1)^{l+j} A_{lj}$

$A_{mj} = (-1)^{m+j} \bar{A}^{mj}$
$\bar{A}^{mj} = (-1)^{m+j} A_{mj}$

Quindi riprendiamo la 1) e sostituiamo i minori complementari.

$(-1)^{l+j} A_{lj} = (-1)^{m-1-l}(-1)^{m+j} A_{mj}$

e con operazione abbastanza ovvie sugli esponenti...

$ A_{lj} = (-1)^{m-1-l}(-1)^{m+j} (-1)^{-l-j} A_{mj}$
$ A_{lj} = (-1)^{2m-1+j-j-2l} A_{mj}$
$ A_{lj} = (-1)^{-1} A_{mj}$
$ A_{lj} = - A_{mj}$

[Yuyu_13]

Buongiorno Quinzio, ti ringrazio per avermi risposto!

Giusto, per togliermi ogni dubbio, tu indenti con il simbolo $A_(lj)$ il complemento algebrico di $A$ relativo al posto $i,j$ ?


Infine, negli ultimi passaggi, si poteva fare anche cosi
$ A_{lj} = (-1)^{m-1-l}(-1)^{m+j} (-1)^{l+j} A_{mj} $
$ A_{lj} = (-1)^{2m+2j-1}A_{mj} $
$ A_{lj} = (-1)^{-1}A_{mj} $
$ A_{lj} = -A_{mj} $

?