Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno.
Voglio provare a vedere che le due definizione che vi riporto risultano equivalenti.
Definizione 1
$W subseteq V$ tale che $W != emptyset$
$W$ sottospazio vettoriale di $V$ $<=>^mbox(def)$ stabile rispetto alle legge indotte di $V$ di somma e prodotto per uno scalare.
Definizione 2
$W subseteq V$
$W$ sottospazio vettoriale di $V$ $<=>^mbox(def)$ stabile rispetto alle legge indotte di ...
Salve,
Come dimostro che ogni matrice non diagonalizzabile $A$ si può scrivere come una successione di matrici diagonalizzabili $A_k$? e.g. $A~=lim_{k \to \infty}A_k$ .
Il professore ha dimostrato per induzione il seguente lemma:
Sia $V$ sp. vett. su $k$, $S$ sottoinsieme finito di $V$ t.c. $EEw_1,.....,w_rinSpan(S)$ vettori linearmente indipendenti $=> EE v_1,....,v_rinS$ vettori linearmente indipendenti.
Dimostazione: (Step 1) $w_1,...,w_r$ lin.ind. $=> w_1,...,w_(r-1)$ lin.ind. e $w_r notinSpan(w_1,...,w_(r-1))<br />
=> Span(w_1,...,w_(r-1))subSpan(S) => S$ non è un sottoinsieme di $Span(w_1,...,w_(r-1)) => EE v_rinS$ t.c.
$v_r notinSpan(w_1,...,w_(r-1)) => w_1,...,w_(r-1),v_r$ sono lin.ind.
(Step 2) assumendo vero per ...
Ciao, ho un dubbio sui polinomi caratteristici delle matrici.
Se ho la matrice $ A - \lambda * I $, posso dire che la molteplicità algebrica di $ 0 $ è uguale alla molteplicità algebrica di $\lambda$ in $ A $?
Se si, in che modo si può dimostrare?
Grazie.
Ciao,
un chiarimento sulla nozione di torsione di una connessione affine.
Consideriamo una varieta' differenziabile (manifold) sulla quale e' definita una connessione affine con torsione.
Da quanto ho capito nel caso di connessione senza torsione partendo da un punto qualsiasi P gli spostamenti geodetici commutano. In altre parole si ha quanto segue:
Prendiamo 2 vettori $V$ e $W$ definiti nello spazio tangente al punto P e consideriamo i seguenti spostamenti ...
Buongiorno la domanda è questa:
Se una generica superficie è rappresentata nello spazio dalle tre equazioni:
$\{(x=x(u,v)),(y=y(u,v)),(z=z(u,v)):}$
con $(u,v)$ $in$ $R^2$
una forma del tipo:
$\{(x=x(u,v,w)),(y=y(u,v,w)),(z=z(u,v,w)):}$
con $(u,v,w)$ $in$ $R^3$
rappresenta una specie di "spazio curvo"??
grazie
Salve a tutti, chiedo aiuto nella risoluzione del seguente esercizio. Ho definito il mio spazio vettoriale $V~=R^(p+q)$ e la metrica su di esso $G$ di segnatura $(p,q)$ la quale mi permette di definire la mappa $(..,..)_G:VxxV->R$. Ho poi definito il Generalized Orthogonal Group $O(p,q)$ come $O(p,q)={A in End(R^(p+q)) : A\ is\ G-Orthogonal}$ dove un elemento $A$ è G-Orthogonal se $(Av,Aw)_G=(v,w)_G , AA v,w in V$. Ora mi chiede di dimostrare la seguente:
$1) A in O(p,q) iff A^(T)GA=G$
Dalla soluzione ...
Ciao a tutti
Stavo affrontando lo studio di campi elettromagnetici, in particolare la potenza nel cavo coassiale. Ma non è questo il punto... Il cavo coassiale può essere visto come un cilindro e come tale si può utilizzare coordinate cilindriche.
Da immagine che ho allegato ad un certo punto mi da la suddetta formula che prende per vera senza spiegare perché
Ovvero
$\hatndS=\hatz rhodrhodphi$
Ma come fa?
Mi verrebbe da dire che $hatn=hatzrho$ è che $dS=drhodphi$
Grazie mille a tutti ...
Ciao a tutti,
come da titolo, son in difficoltà nella risoluzione di questo tipo di esercizi. Nello specifico ho una retta data in forma parametrica e un punto, ma non riesco a determinare l'equazione del piano, non so da dove cominciare.
Avete suggerimenti o consigli su come procedere?
L'equazione della retta è: $ { ( x=1-3lambda ),( y=4lamda ),( z=3-2lamda ):} $ e $ P=( ( 4 ),( 0 ),( -1 ) ) $
dall'equazione della retta ho determinato il vettore direttore $ v_r=( ( -3),( 4 ),( -2 ) ) $
ho imposto il passaggio del piano per il punto ...
Buongiorno, come ho già avuto modo di scrivere nei miei primi messaggi in questo forum, sto preparando l'esame di "analisi 2" in un corso di laurea ingegneristico. Nella fattispecie, da poco ho finito il capitolo sullo studio dei minimi e massimi locali nel caso di domini aperti.
Sotto dovute ipotesi, la natura dei punti stazionari di una funzione può essere determinata tramite le studio della matrice hessiana, che essenzialmente è l'analogo dello studio della derivata seconda insegnato ad ...
Buonasera. Sto provando a dimostrare la relazione di Grassmann.
Siano $W,W'$ sottospazi di $V$ finitamente generati, con $dimW=r, dimW'=s, i=dim(WcapW'), c=dim(W+W')$
Voglio provare $c=r+s-i$
Considero il caso $WcapW'ne{0}$, dunque, $i=dimWcapW'>0$.
Allora esiste una base $mathbb{B_i}$ non nulla, quindi, $mathbb{B_i}={u_1,...,u_i}.$
Dall'altra parte abbiamo
$mathbb{B_i}subseteqWcapW' to mathbb{B_i}subseteqW, mathbb{B_i}subseteqW'$, quindi posso completare
-$mathbb{B_i}$ ad una base di $W$ cioè ...
Ciao a tutti, dovrei dimostrare il seguente fatto:
Prese due matrici quadrate $M,N$ della stessa taglia $n$, si considerano i campi vettoriali $X,Y$ su $\mathbb{R}^n$ dati da: $X(v)=Mv$ e $Y(v)=Nv$ per ogni $v\in\mathbb{R}^n$.
Vorrei mostrare che $[X,Y](v)=(NM-MN)(v)$, dove $[*,*]$ indicano le parentesi di Lie di due campi vettoriali
Il mio ragionamento è il seguente: dalla definizione di parentesi di Lie ho che
...
Ciao a tutti, ho appena cominciato a risolvere esercizi di questa tipologia, e vorrei proporvi qualcuno che ho tentato di risolvere, per capire se sto andando nella giusta direzione.
Riporto il testo:
" Per ciascuna delle seguenti matrici $ nxx m $ $A$ trova il nucleo dell'applicazione lineare associata $ f_A:mathbb(K)^(m)rarr mathbb(K)^(n) $ (scrivendone una base), dove $mathbb(K)$ è il campo indicato.
1) $ ( ( 1 , 2 , 4 ),( 0 , 3 , 3 ),( -2 , 1 , -3 ) ) , mathbb(R) $ .
2) $ ( ( 0 , 2 , 4 , -2 ),( -1 , 1 , 2 , -4 ),( 0 , -1 , -2 , 1 ),( 2 , 3 , 6 , 3 ) ) , mathbb(R) $."
Per quando riguarda la prima ...
Ciao ragazzi, spero di essere nella sezione giusta. Vorrei porvi il seguente quesito fisico/matematico: dato uno spazio di Hilbert $ \mathcal{H} $ e un hamiltoniana $ H=sum_(i = 1)^n H_i $ (o un qualsiasi operatore autoaggiunto) che si può scrivere come somma di N operatori $ H_i $ che commutano tra loro, è vero che si può fattorizzare lo spazio di Hilbert come spazio prodotto tensore $ \mathcal{H}= ox_(i=1)^n \mathcal{H}_i$ (dove ciascuno spazio del prodotto è costruito a partire dagli autostati di ...
Ciao a tutti ho un piccolo dubbio su un punto di un esercizio.
data la matrice
\begin{pmatrix}
0 & -1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 0 & k\\
2 & 2 & 2 & 2\\
\end{pmatrix}
nelle primi 2 punti mi chiede di calcolare base e dimensione , e fin qui nessun problema.
come ultimo punto chiede : si dica per quali valori di k∈ R esiste un vettore v∈ R^4 tale che Tk(v)=(1,1,0)
grazie mille in anticipo
ciao a tutti;
volevo sapere la risoluzione di questo esercizio
data la matrice A
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 2 & 1\\
\end{pmatrix}
appartenente M4(R) dire se esiste la matrice diagonale in M4 simile ad A.
vi chiedo già scusa in anticipo per come ho scritto il problema, ma sono nuova in questo forum
grazie mille in anticipo
Ciao, ho un dubbio su gli ultimi 2 quesiti che l'esercizio mi chiede.
Data la matrice A = $ ( ( 1 , -2 , 0 ),( -2 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 5 ) ) $ , sia inoltre Q : R^3 -> R la forma quadratica Q $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = Q(X) = XAX(trasposta).
a) determina autovalori e molteplicità
Autovalori : 0 con u=m=1 ; 5 con u=m=2; (u è molteplicità algebrica, m è molteplicità geometrica)
b) segno di q?
Semidifinita positiva avendo autovalori maggiori e uguali a zero.
c) determinare matrice ortogonale N per il cambio di variabile X = XN' ...
Salve a tutti
Presento un problema legato al calcolo del percorso utensile in macchine CNC.
Occorre calcolare il punto notevole con Z massima che giace sulla linea chiusa intersezione di due cilindri noti
Ho rappresentato con geogebra il problema
[ggb]https://www.geogebra.org/m/hmypfk52[/ggb]
un cilindro è:
${(x^2 +z^2 = r^2,),(y,\forall):}$
con r noto
l'altro cilindro è
${((x-d)^2 +y^2 = R^2,),(z,\forall):}$
con R e d noti
in aggiunta questo secondo è ruotato attorno all'asse X di un angolo pari a b anch' esso noto
Il ...
Ciao,
un dubbio sul concetto di varieta' immersa (immersed submanifold) in particolare sulla condizione di differenziale (pushforward) iniettivo. Prendiamo ad esempio la seguente applicazione $RR rarr RR^2$ (pensati come varieta' differenziabili con la struttura standard):
$ x(t)={(sin(t),if x \in (0,\pi/2]),(2 - cos (t - \pi/2),if x \in (\pi/2, \pi)):} $
$ y(t)={(sin(t),if x \in (0,\pi/2]),(2 - cos (t - \pi/2),if x \in (\pi/2, \pi)):} $
Tale applicazione e' liscia ed iniettiva tuttavia il differenziale valutato al punto $t=\pi/2$ e' nullo. D'altra parte il rapporto $\frac {x(t)} {y(t)}$ e' sempre pari ad 1 per ...
Non capisco perché, tra i tensori, sono particolarmente importanti quelli k volte covarianti asimmetrici.
Non capisco il perché servono proprio queste k-forme per fare integrazione e differenziazione.
Non si potrebbe lavorare semplicemente con i tensori classici? Perché definire tutti questi concetti come prodotto wedge, derivata esterna, ecc.? Quale è il ruolo di queste definizioni con i tensori normali? Non si possono fare o sono riferiti ad altri concetti?
Qualcuno mi può spiegare in parole ...
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