Ortogonalizzazione nel caso di prodotto non definito positivo
Ciao a tutti!
Sto preparando l'esame di algebra lineare e mi è sorto un dubbio riguardante l'ortogonalizzazione. So che nel caso di prodotto scalare definito positivo una base ortogonale esiste e, partendo da una qualsiasi base, è possibile trovarla applicando Gram-Schmidt.
Nel caso di prodotto non definito positivo, invece, come si approccia il problema? A lezione abbiamo dimostrato che ogni spazio vettoriale diverso da zero e di dimensione finita, dotato di un prodotto scalare, ammette una base ortogonale, ma non è stato fornito un algoritmo per calcolarla. Non so se mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua o se la faccenda è effettivamente più complessa :')
Ringrazio chiunque avrà voglia di spendere un po' di tempo per aiutarmi
Sto preparando l'esame di algebra lineare e mi è sorto un dubbio riguardante l'ortogonalizzazione. So che nel caso di prodotto scalare definito positivo una base ortogonale esiste e, partendo da una qualsiasi base, è possibile trovarla applicando Gram-Schmidt.
Nel caso di prodotto non definito positivo, invece, come si approccia il problema? A lezione abbiamo dimostrato che ogni spazio vettoriale diverso da zero e di dimensione finita, dotato di un prodotto scalare, ammette una base ortogonale, ma non è stato fornito un algoritmo per calcolarla. Non so se mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua o se la faccenda è effettivamente più complessa :')
Ringrazio chiunque avrà voglia di spendere un po' di tempo per aiutarmi
Risposte
"namfjushi":
Ciao a tutti!
[...] A lezione abbiamo dimostrato che ogni spazio vettoriale diverso da zero e di dimensione finita, dotato di un prodotto scalare, ammette una base ortogonale, ma non è stato fornito un algoritmo per calcolarla. [...]
Ciao
Ti basta cercare una base e applicare l'algoritmo di Gram-Schmidt.
"Magma":
[quote="namfjushi"]Ciao a tutti!
[...] A lezione abbiamo dimostrato che ogni spazio vettoriale diverso da zero e di dimensione finita, dotato di un prodotto scalare, ammette una base ortogonale, ma non è stato fornito un algoritmo per calcolarla. [...]
Ciao
Ti basta cercare una base e applicare l'algoritmo di Gram-Schmidt.
[/quote]Ciao, grazie mille!
Quindi in sostanza non importa il prodotto scalare, posso sempre usare Gram-Schmidt? Effettivamente anche nelle soluzioni dei compiti scritti, alla richiesta di trovare una base ortogonale, veniva sempre applicato questo metodo, senza verificare che il prodotto fosse definito positivo. Tuttavia sia nell'enunciato dato dal prof che su internet veniva specificato quindi mi era sorto il dubbio, ma effettivamente a livello pratico non credo mi abbia mai causato problemi.
Grazie ancora!
Caro Magma, mi sa che non hai colto la domanda. Prendiamo la forma bilineare \(g((x_1, y_1), (x_2, y_2))=x_1y_2 + x_2y_1\) su \(\mathbb R^2\). Applichiamo Gram-Schmidt a \(\{(1, 0), (0, 1)\}\). La prima cosa da fare è calcolare \(g((1, 0), (1,0))\). Fa zero. Cavoli. E che facciamo adesso? Secondo Gram-Schmidt dovremmo dividere
\[
\frac{(1, 0)}{g((1, 0), (1, 0))}, \]
ma non si può dividere per zero.
\[
\frac{(1, 0)}{g((1, 0), (1, 0))}, \]
ma non si può dividere per zero.
Wait wait... io rispondevo solo alla parte quotata, leggendo di corsa m'ero perso la parte iniziale del post 
"dissonance":
Secondo Gram-Schmidt dovremmo dividere
\[
\frac{(1, 0)}{g((1, 0), (1, 0))}, \]
ma non si può dividere per zero.
Il problema di usare Gram-Schmidt in prodotti scalari che ammettono vettori isotropi mi torna, ma non capisco perché non si potrebbe utilizzare su un prodotto definito negativo. L'importante è che non si divida per zero, no? Quindi che importa se si ottiene un numero positivo o negativo?
Infatti. Non ce ne importa niente che ci siano numeri negativi. Ma nel mio esempio precedente, l'algoritmo di Gram-Schmidt si blocca, perché cade in una divisione per zero. È chiaro questo punto? È il punto centrale della mia risposta.
Quindi la mia domanda per te è la seguente. Cosa faresti per diagonalizzare \(g((x, y), (x, y)) = 2xy\)? Se riesci a capire a fondo questo esempio giocattolo, hai capito la diagonalizzazione delle forme quadratiche.
ADDENDUM: Torno sul punto iniziale, dei numeri negativi. Il problema di una forma quadratica non definita positiva non è che appaiano numeri negativi. Il problema è che appaiono vettori isotropi, ovvero, vettori \(v\ne 0\) tali che \(g(v, v)=0\). Nel caso definito positivo, questo è impossibile.
Quindi la mia domanda per te è la seguente. Cosa faresti per diagonalizzare \(g((x, y), (x, y)) = 2xy\)? Se riesci a capire a fondo questo esempio giocattolo, hai capito la diagonalizzazione delle forme quadratiche.
ADDENDUM: Torno sul punto iniziale, dei numeri negativi. Il problema di una forma quadratica non definita positiva non è che appaiano numeri negativi. Il problema è che appaiono vettori isotropi, ovvero, vettori \(v\ne 0\) tali che \(g(v, v)=0\). Nel caso definito positivo, questo è impossibile.
Sì, ho capito l'esempio che hai proposto prima e il problema dei vettori isotropi. La mia ultima domanda riguardava infatti i prodotti definiti negativi, quindi tali che \(\displaystyle g(v,v) = 0 \Leftrightarrow v = 0\), perché in ogni spiegazione dell'algoritmo di Gram-Schmidt veniva richiesto che il prodotto fosse definito positivo e non riuscivo a spiegarmelo.
Per quanto riguarda la tua domanda, onestamente non sono sicura di sapere come affrontare il problema. Non abbiamo mai utilizzato l'espressione "forma quadratica", ma è possibile che mi stia perdendo in un bicchier d'acqua.
Per quanto riguarda la tua domanda, onestamente non sono sicura di sapere come affrontare il problema. Non abbiamo mai utilizzato l'espressione "forma quadratica", ma è possibile che mi stia perdendo in un bicchier d'acqua.
Forma quadratica = prodotto scalare non necessariamente definito positivo.
Quanto alla domanda, abbiamo capito che ti manca un pezzettino di teoria ed è per questo che ti blocchi, qui:
Infatti, un algoritmo c'è. Si tratta più che altro di un trucco. Ritorniamo al caso in analisi, la forma quadratica
\[
g((x, y), (x, y))=2xy.\]
Vogliamo applicare Gram-Schmidt alla base \(e_1=(1, 0), e_2=(0, 1)\). Ci siamo bloccati perché \(e_1\) è isotropo. Allora, ed è questo il pezzettino che ti manca, consideriamo la base \(\{e_1+e_2, e_2\}\). Risulta che
\[
g(e_1+e_2, e_1+e_2)=g((1, 1), (1, 1))=2\ne 0, \]
quindi possiamo procedere con Gram-Schmidt,
\[
v_1:=\frac{e_1+e_2}{\sqrt 2}=(1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2), w_2:=e_2-g(e_2, v_1)v_1=(-1/2, 1/2).\]
Resta da normalizzare \(w_2\):
\[v_2:=w_2/\sqrt{\lvert g(w_2, w_2)\rvert }=(-\frac{\sqrt 2}{2}, \frac{\sqrt 2}{2}).\]
La base \(v_1, v_2\) diagonalizza \(g\).
NOTA BENE: Come vedi, quando abbiamo normalizzato \(v_2\) abbiamo preso il valore assoluto di \(g(w_2, w_2)=-1/2\). Altrimenti come ne avremmo potuto estrarre la radice quadrata?
NOTA 2: Questo è il trucco generale. Se a un certo punto Gram-Schmidt si blocca perché un vettore è isotropo, si sostituisce il vettore. Si può sommare il vettore isotropo a un vettore successivo, o prendere una opportuna combinazione lineare ad occhio.
Quanto alla domanda, abbiamo capito che ti manca un pezzettino di teoria ed è per questo che ti blocchi, qui:
A lezione abbiamo dimostrato che ogni spazio vettoriale diverso da zero e di dimensione finita, dotato di un prodotto scalare, ammette una base ortogonale, ma non è stato fornito un algoritmo per calcolarla. Non so se mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua o se la faccenda è effettivamente più complessa :')
Infatti, un algoritmo c'è. Si tratta più che altro di un trucco. Ritorniamo al caso in analisi, la forma quadratica
\[
g((x, y), (x, y))=2xy.\]
Vogliamo applicare Gram-Schmidt alla base \(e_1=(1, 0), e_2=(0, 1)\). Ci siamo bloccati perché \(e_1\) è isotropo. Allora, ed è questo il pezzettino che ti manca, consideriamo la base \(\{e_1+e_2, e_2\}\). Risulta che
\[
g(e_1+e_2, e_1+e_2)=g((1, 1), (1, 1))=2\ne 0, \]
quindi possiamo procedere con Gram-Schmidt,
\[
v_1:=\frac{e_1+e_2}{\sqrt 2}=(1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2), w_2:=e_2-g(e_2, v_1)v_1=(-1/2, 1/2).\]
Resta da normalizzare \(w_2\):
\[v_2:=w_2/\sqrt{\lvert g(w_2, w_2)\rvert }=(-\frac{\sqrt 2}{2}, \frac{\sqrt 2}{2}).\]
La base \(v_1, v_2\) diagonalizza \(g\).
NOTA BENE: Come vedi, quando abbiamo normalizzato \(v_2\) abbiamo preso il valore assoluto di \(g(w_2, w_2)=-1/2\). Altrimenti come ne avremmo potuto estrarre la radice quadrata?
NOTA 2: Questo è il trucco generale. Se a un certo punto Gram-Schmidt si blocca perché un vettore è isotropo, si sostituisce il vettore. Si può sommare il vettore isotropo a un vettore successivo, o prendere una opportuna combinazione lineare ad occhio.
Chiarissimo, grazie mille!
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