Problema esercizio prodotto vettoriale con vettore incognito
salve e grazie a anticipatamente a tutti coloro che mi risponderanno. Ho un problema con il seguente esercizio:
Dati due vettori $ \vec a = (-1,1,1)$ e $ \vec b = (2,1,-1)$, determinare il vettore $ \vec c$ tale che sia verificata la seguente relazione $ \vec a$ $ \times $ $ \vec b = \vec b \times \vec c$. verificare che il vettore cos'i ottenuto sia ortogonale ai vettori dati.
Allora io ho provato a risolverlo così:
1- ricavo $ \vec a$ $ \times $ $ \vec b$
$ \vec a$ $ \times $ $ \vec b = det|(i,j,k),(-1,1,1),(2,1,-1)|$
applico sarrus
$|(i,j,k,i,j),(-1,1,1,-1,1),(2,1,-1,2,1)|$ $ \= -2i + j -3k $
2-impongo componenti incognite a $ \vec c$ e cacolo $\vec b \times \vec c$
$ \vec c = (x,y,z)$
$\vec b \times \vec c = det|(i,j,k),(2,1,-1),(x,y,z)|$
applico nuovamente sarrus
$|(i,j,k,i,j),(2,1,-1,2,1),(x,y,z,x,y)| = iz-jx+2ky-kx+iy-2jz = i(z+y)+j(-x-2z)+k(2y-x)$
ora uguaglio i coefficienti a quelli del prodotto vettoriale calcolati prima e costruisco un sistema di 3 equazioni.
\begin{equation}
\begin{cases}
z+y = -2\\ -x-2z = 1\\ 2y-x = -3
\end{cases}
\end{equation}
il mio problema è che questo sistema è indeterminato.
dove sbaglio? ci sono metodi diversi?
Dati due vettori $ \vec a = (-1,1,1)$ e $ \vec b = (2,1,-1)$, determinare il vettore $ \vec c$ tale che sia verificata la seguente relazione $ \vec a$ $ \times $ $ \vec b = \vec b \times \vec c$. verificare che il vettore cos'i ottenuto sia ortogonale ai vettori dati.
Allora io ho provato a risolverlo così:
1- ricavo $ \vec a$ $ \times $ $ \vec b$
$ \vec a$ $ \times $ $ \vec b = det|(i,j,k),(-1,1,1),(2,1,-1)|$
applico sarrus
$|(i,j,k,i,j),(-1,1,1,-1,1),(2,1,-1,2,1)|$ $ \= -2i + j -3k $
2-impongo componenti incognite a $ \vec c$ e cacolo $\vec b \times \vec c$
$ \vec c = (x,y,z)$
$\vec b \times \vec c = det|(i,j,k),(2,1,-1),(x,y,z)|$
applico nuovamente sarrus
$|(i,j,k,i,j),(2,1,-1,2,1),(x,y,z,x,y)| = iz-jx+2ky-kx+iy-2jz = i(z+y)+j(-x-2z)+k(2y-x)$
ora uguaglio i coefficienti a quelli del prodotto vettoriale calcolati prima e costruisco un sistema di 3 equazioni.
\begin{equation}
\begin{cases}
z+y = -2\\ -x-2z = 1\\ 2y-x = -3
\end{cases}
\end{equation}
il mio problema è che questo sistema è indeterminato.
dove sbaglio? ci sono metodi diversi?
Risposte
Per ben due volte: povero Sarrus...
Il sistema di equazioni lineari da te determinato è corretto; poi che accade?
Il sistema di equazioni lineari da te determinato è corretto; poi che accade?
Il sistema ha infinite soluzioni. Come faccio a deteminare le componenti di $ \vec c$?
"Roman27":Ovviamente sì!
Il sistema ha infinite soluzioni. [...]
Ti manca una condizione: che quei vettori abbiano la stessa lunghezza!
Ciao, a me il testo sembra sbagliato, perché oltre all'esistenza di infinite soluzioni come hai osservato, nessuno dei vettori che hai ottenuto è ortogonale ai "vettori dati" (che immagino siano $a$ e $b$). Inoltre è evidente senza fare nessun conto che $-a$ è soluzione del problema perché $a xx b = b xx (-a)$, tuttavia $-a$ non è l'unica soluzione e comunque non è ortogonale a $b$.
Avrebbe più senso se dicesse
Verificare che i vettori $c$ così ottenuti sono ortogonali a $a xx b$
oppure
Verificare che i vettori $c$ così ottenuti stanno nel piano generato da $a$ e $b$.
Verificare che i vettori $c$ così ottenuti sono ortogonali a $a xx b$
oppure
Verificare che i vettori $c$ così ottenuti stanno nel piano generato da $a$ e $b$.
"j18eos":Ovviamente sì!
[quote="Roman27"]Il sistema ha infinite soluzioni. [...]
Ti manca una condizione: che quei vettori abbiano la stessa lunghezza!
[/quote]\[ \begin{equation} \begin{cases} z+y = -2\\ -x-2z = 1\\ 2y-x = -3 \end{cases} \end{equation} \]allora se ho capito devo aggiungere al sistema $\sqrt(x^2+y^2+z^2) = sqrt(4+1+9) \rightarrow x^2+y^2+z^2 =14$
\begin{equation} \begin{cases} z+y = -2\\ -x-2z = 1\\ 2y-x = -3\\x^2+y^2+z^2 =14 \end{cases} \end{equation}
\begin{equation} \begin{cases} z= -2-y\\ -x-2z = 1\\ 2y+3=x\\x^2+y^2+z^2 =14 \end{cases} \end{equation}
\begin{equation} \begin{cases} z= -2-y\\ 2y+3=x\\(2y+3)^2+y^2+(-2-y)^2 =14 \rightarrow 6y^2+16y-1=0 \end{cases} \end{equation}
risolvendo ottengo due vettori
$\vec c1 = ((1-sqrt(70))/3, (-8-sqrt(70))/6, (sqrt(70)-4)/6)$
$\vec c2 = ((1+sqrt(70))/3, (-8+sqrt(70))/6, (4-sqrt(70))/6)$
a questo punto deve essere nullo il prodotto scalare $\vec a *vec c1$
che però è usguale $ 1\/3 (sqrt(70) - 7)$
altri suggerimenti?
"Martino":
Avrebbe più senso se dicesse
Verificare che i vettori $c$ così ottenuti sono ortogonali a $a xx b$
oppure
Verificare che i vettori $c$ così ottenuti stanno nel piano generato da $a$ e $b$.
Figurati che non è neanche la traccia più contorta. Proverò a considerare il piano. Grazie
Svolgendo tutti i calcoli, io trovo:
\[
\begin{cases}
x=-2t-1\\
y=-t-2\\
z=t
\end{cases}
\]
la quale è la rappresentazione parametrica di una retta affine in \(\displaystyle\mathbb{A}^3\) (rispetto al riferimento canonico).
Sostituendo questi dati nel calcolo del vettore \(\displaystyle\underline{b}\times\underline{c}\) e calcolando la norma si ottiene \(\displaystyle14\); ma in nessun caso si trova un vettore ortogonale ad \(\displaystyle\underline{a}\) e \(\displaystyle\underline{b}\)...
\[
\begin{cases}
x=-2t-1\\
y=-t-2\\
z=t
\end{cases}
\]
la quale è la rappresentazione parametrica di una retta affine in \(\displaystyle\mathbb{A}^3\) (rispetto al riferimento canonico).
Sostituendo questi dati nel calcolo del vettore \(\displaystyle\underline{b}\times\underline{c}\) e calcolando la norma si ottiene \(\displaystyle14\); ma in nessun caso si trova un vettore ortogonale ad \(\displaystyle\underline{a}\) e \(\displaystyle\underline{b}\)...
Fra le infinite soluzioni, io sceglierei la riflessione di $a$ rispetto a $b$, ovvero $c=(-1/3,-5/3,-1/3)$
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