Applicazione lineare

[Alessio_Ale]

Ciao a tutti!
Ho un problema con un esercizio che non riesco a risolvere, spero che qualcuno riesca a darmi una mano.
Vi copio il testo:

Sia f : $ R^3 $ $ rarr $ $ R^3 $ l’applicazione lineare definita dalle seguenti condizioni:
• (1, 1, 0) è autovettore per f relativo all’autovalore 1;
• (0, 1, 0) $ in $ Ker(f);
• f(0, 1, 2) = (1, 2, 0).
(a) Scrivere la matrice di f rispetto alla base B = ((1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 2)) di $ R^3 $ .
(b) Scrivere la matrice di f rispetto alla base canonica di $ R^3 $ .
(c) Calcolare la dimensione e una base di Ker(f).
(d) Calcolare la dimensione e una base di Im(f).

Come sempre ringrazio chi avrà tempo e voglia di darmi una mano =)

[marco2132k]

Che cosa hai provato a fare?

[Alessio_Ale]

Sono partito a scrivere f(0, 1, 2) = (1, 2, 0) rispetto alla base B ma nonriesco ad andare avanti

[Alessio_Ale]

"marco2132k":Che cosa hai provato a fare?

Ho visto che hai risposto a tutti e 3 i quesiti che ho posto, posso chiederti se gentilmente potresti spiegarmi come risolverli?

[marco2132k]

Scusa se sono sparito ma non ho tempo di rispondere a tutte le domande. Ti ho invitato a esporre i tuoi tentativi semplicemente perché è quanto è richiesto dal regolamento del forum, e perché così hai più possibilità di ricevere risposte.


Anyway, un'idea potrebbe essere questa: hai tutti i dati per trovare l matrice di f rispetto alle basi canoniche; trovala, e poi la moltiplichi per la matrice di cambiamento di base dalla canonica alla base "strana". Ti suona il procedimento?

[Alessio_Ale]

Tranquillo, posso immaginare!

Ho provato a seguire il tuo consiglio ma non riesco a tirare fuori f. Sicuramente mi perdo qualcosa ma non capisco cosa.

[Studente Anonimo]

Di fatto:

$f[[1],[1],[0]]=[[1],[1],[0]]$

$f[[0],[1],[0]]=[[0],[0],[0]]$

$f[[0],[1],[2]]=[[1],[2],[0]]$

Quindi, rispetto alla base B:

$A=[[1,0,0],[1,1,1],[0,0,2]]^(-1)[[1,0,1],[1,0,2],[0,0,0]]$

e rispetto alla base canonica:

$A=[[1,0,1],[1,0,2],[0,0,0]][[1,0,0],[1,1,1],[0,0,2]]^(-1)$

Ovviamente, il procedimento quasi immediato di cui sopra richiede una certa dimestichezza con le matrici di cambiamento di base.

[Alessio_Ale]

Ora è chiaro! grazie mille