Domanda teorica su Teorema Spettrale
Salve,
Mi è capitata una certa domanda che pone diversi quesiti sul teorema spettrale.
Sia A una matrice quadrata simmetrica 3x3. Sapendo che -3 e 4 sono gli unici autovalori reali di A, e che per l'autospazio $ nu $ 4 = Span $ ( ( 1 ),( 2 ),( 1 ) ) $ .
Ok che esiste una base ortogonale formata da autovettori di A. Però poi mi propone delle affermazioni un po' più intricate, ho provato a dare risposta.
1) Come faccio a capire che il un vettore , ad esempio $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) $ , appartenga all'autospazio $ nu $ -3? Devo ricostruire la matrice A e controllare se l'autospazio di V3 generi $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) $ ?
2) E' giusto che $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) in $ Ker(A+3I)? Non saprei come ricavarlo così.
3) Come verifico che A $ ( ( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) $ = $ ( ( 3 ),( 0 ),( -3 ) ) $ ? sarebbe il prodotto con autovalore A = 3?
4) $ nu $ -3 = Span ( $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) $ , $ ( ( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) $ ) , come mai è corretto? n-rg(autospazio -3) = 3-1 = 2 vettori?
Grazie e cordiali saluti.
Mi è capitata una certa domanda che pone diversi quesiti sul teorema spettrale.
Sia A una matrice quadrata simmetrica 3x3. Sapendo che -3 e 4 sono gli unici autovalori reali di A, e che per l'autospazio $ nu $ 4 = Span $ ( ( 1 ),( 2 ),( 1 ) ) $ .
Ok che esiste una base ortogonale formata da autovettori di A. Però poi mi propone delle affermazioni un po' più intricate, ho provato a dare risposta.
1) Come faccio a capire che il un vettore , ad esempio $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) $ , appartenga all'autospazio $ nu $ -3? Devo ricostruire la matrice A e controllare se l'autospazio di V3 generi $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) $ ?
2) E' giusto che $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) in $ Ker(A+3I)? Non saprei come ricavarlo così.
3) Come verifico che A $ ( ( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) $ = $ ( ( 3 ),( 0 ),( -3 ) ) $ ? sarebbe il prodotto con autovalore A = 3?
4) $ nu $ -3 = Span ( $ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) $ , $ ( ( 1 ),( 0 ),( -1 ) ) $ ) , come mai è corretto? n-rg(autospazio -3) = 3-1 = 2 vettori?
Grazie e cordiali saluti.
Risposte
Ciao, gli autovettori come te li immagineresti disposti? 
P.S. mi spiego meglio
Sai che $A$ è una matrice simmetrica, gli unici autovalori sono $\lambda=-3,4$ e che la molteplicità algebrica è $m_a(4)=1$; inoltre, per il teorema spettrale, necessariamente $m_{a} (-3) = 2 = m_{g} (-3)$.
Per rispondere alle domande, non ti resta che trovare gli autovettori relativi all'autovalore $\lambda=-3$ sfruttando una proprietà degli autovettori relativi ad autovalori distinti...
P.S. mi spiego meglio
Sai che $A$ è una matrice simmetrica, gli unici autovalori sono $\lambda=-3,4$ e che la molteplicità algebrica è $m_a(4)=1$; inoltre, per il teorema spettrale, necessariamente $m_{a} (-3) = 2 = m_{g} (-3)$.
Per rispondere alle domande, non ti resta che trovare gli autovettori relativi all'autovalore $\lambda=-3$ sfruttando una proprietà degli autovettori relativi ad autovalori distinti...
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