Spazio vettoriale delle matrici m ⇥ n a coefficienti reali
Ciao a tutti!
Ho un problema con un esercizio che non riesco a risolvere, spero che qualcuno riesca a darmi una mano.
Vi copio il testo:
Sia $ R^(m,n) $ lo spazio vettoriale delle matrici m x n a coefficienti reali. Si consideri l’applicazione lineare
f : $ R^(2,2) $ −> $ R^(2,3) $ tale che f
$ ( ( a , b ),( c , d ) ) =( ( a , b , a ),( c , d , c ) ) $
(a) Scrivere la matrice associata ad f rispetto alle basi standard
$ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) ,( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ) ,( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ) ,( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
di $ R^(2,2) $ e
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ),( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ),( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ),( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ),( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ), $
di $ R^(2,3) $.
(b) Calcolare dim Ker(f).
(c) Calcolare dim Im(f).
(d) Calcolare una base di Im(f).
ringrazio chi vorrà darmi una mano =)
Ho un problema con un esercizio che non riesco a risolvere, spero che qualcuno riesca a darmi una mano.
Vi copio il testo:
Sia $ R^(m,n) $ lo spazio vettoriale delle matrici m x n a coefficienti reali. Si consideri l’applicazione lineare
f : $ R^(2,2) $ −> $ R^(2,3) $ tale che f
$ ( ( a , b ),( c , d ) ) =( ( a , b , a ),( c , d , c ) ) $
(a) Scrivere la matrice associata ad f rispetto alle basi standard
$ ( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ) ,( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ) ,( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ) ,( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
di $ R^(2,2) $ e
$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ),( ( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) ),( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ),( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) ),( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ), $
di $ R^(2,3) $.
(b) Calcolare dim Ker(f).
(c) Calcolare dim Im(f).
(d) Calcolare una base di Im(f).
ringrazio chi vorrà darmi una mano =)
Risposte
Che cosa hai provato a fare?
Non avrei problemi se dovessi passare da $ R^(2x3) $ in $ R^(2x2) $, ma al contrario mi blocco e non riesco ad impostare il problema.
Inizia a calcolare l'immagine del primo vettore della base data di \(\mathbb{R}_2^2\)!
"j18eos":
Inizia a calcolare l'immagine del primo vettore della base data di \(\mathbb{R}_2^2\)!
Ti ringrazio per la risposta ma non mi sono sbloccato
Proviamone uno insieme.
Chiamiamo ${e_1,e_2,e_3,e_4}$ le matrici della base canonica di partenza e ${v_1,v_2,v_3,v_4,v_6,v_6}$ le matrici della base di arrivo.
$f(e_1)=( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) )=v_1+v_3$
Ti sblocca?
Chiamiamo ${e_1,e_2,e_3,e_4}$ le matrici della base canonica di partenza e ${v_1,v_2,v_3,v_4,v_6,v_6}$ le matrici della base di arrivo.
$f(e_1)=( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) )=v_1+v_3$
Ti sblocca?
"Bokonon":
Proviamone uno insieme.
Chiamiamo ${e_1,e_2,e_3,e_4}$ le matrici della base canonica di partenza e ${v_1,v_2,v_3,v_4,v_6,v_6}$ le matrici della base di arrivo.
$f(e_1)=( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) )=v_1+v_3$
Ti sblocca
Scusami, ieri ti ho dato una risposta incompleta:
$ f(e1)=( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 ) )= v1+v3 $
$ f(e2)=( ( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )= v2 $
$ f(e3)=( ( 0 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) )= v4+v6 $
$ f(e4)=( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ) )= v5 $
fino a qui ci sono, ma poi non so come "unire" il tutto e tirare fuori la matrice associata.
Comunque grazie per le risposte!
@Alessio_Ale
È come per gli esercizi con i vettori...solo che qua i vettori sono matrici.
Se proprio non ti trovi, prova ad associare le matrici 2X2 ad un vettore 4X1 e le matrici 2x3 ad un vettore 6X1.
Troverai la matrice 6x4 associata ad f nella base di arrivo data (come negli esercizi che hai già fatto)
È come per gli esercizi con i vettori...solo che qua i vettori sono matrici.
Se proprio non ti trovi, prova ad associare le matrici 2X2 ad un vettore 4X1 e le matrici 2x3 ad un vettore 6X1.
Troverai la matrice 6x4 associata ad f nella base di arrivo data (come negli esercizi che hai già fatto)
Quindi la matrice è:
$ A=( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 ,0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ) $
giusto?
$ A=( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 ,0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ) $
giusto?
Sì, mi trovo;
poi come procedi?
poi come procedi?
"j18eos":
Sì, mi trovo;
poi come procedi?
Riduco per righe per calcolare il rango e ottengo:
$ A=( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $ e il rango quindi è 4.
La dim Im(f) = 4 come il rango
dim Ker(f) = 6-4=2
per determinare la base di Im(f) scelgo le 4 colonne L.I. della matrice.
corretto?
No, perché il dominio che dimensione ha?
Come hai ordinato le basi per ottenere quuella matrice?
Come hai ordinato le basi per ottenere quuella matrice?
Allora la matrice ridotta dovrebbe essere:
$ A=( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ,0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
prima devo averla copiata male, il rango comunque è 4 e quindi anche la dim Im(f), o sbaglio?
$ A=( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ,0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
prima devo averla copiata male, il rango comunque è 4 e quindi anche la dim Im(f), o sbaglio?
Sì, fin qui ci siamo; poi?
Può essere che la dimensione del dominio è 4 quindi dim ker(f) =4-4=0?
Sì, esatto!
è stata dura ma ci sono arrivato.Grazie mille per il supporto!
Non hai finito: trova una base di \(\mathrm{Im}(f)\)! ;-P
Dato che la dim Im(f) è 4 devo scegliere 4 vettori per la base; posso scegliere le 4 colonne di A che sono L.I.
Sì, ma nel codominio non hai "vettori colonna" ma matrici: come ne esci vittorioso?
scelgo le 4 matrici che abbiamo chiamato v1,v2,v4 e v5?
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