Compact Symplectic Group

[Gabriele Pagnanelli]

Salve a tutti, volevo chiedervi chiarimenti sul Compact Symplectic Group definito come $Sp(n):=Sp(n;CC)nnU(2n)$. Perché è possibile possibile descriverlo anche come il sottogruppo di $GL(n,H)$ (matrici quaternioniche invertibili) ?
Perché $Sp(n)$ è il gruppo quaternionico unitario?

Infine, nel caso $n=1$, perché $Sp(1)$ coincide con $SU(2)$?

Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità.

[megas_archon]

"Come il sottogruppo di \(GL(n,H)\)..." quale?

Sembra che tu abbia copiato (male) da wikipedia:

The compact symplectic group \(\text{Sp}(n)\) is the intersection of \(\text{Sp}(2n,\mathbb C)\) with the \(2n\times 2n\) unitary group:
\[\operatorname{Sp}(n):=\operatorname{Sp}(2n;\mathbb C)\cap\operatorname{U}(2n)=\operatorname{Sp}(2n;\mathbb C)\cap\operatorname {SU} (2n).\] It is sometimes written as \(\text{USp}(2n)\). Alternatively, \(\text{Sp}(n)\) can be described as the subgroup of \(\text{GL}(n, \mathbb H)\) invertible quaternionic matrices that preserves the standard hermitian form on \(\mathbb H^n\):
\[\langle x, y\rangle = \bar x_1 y_1 + \cdots + \bar x_n y_n.\] That is, \(\text{Sp}(n)\) is just the quaternionic unitary group, \(\text{U}(n, \mathbb H)\). Indeed, it is sometimes called the hyperunitary group. Also \(\text{Sp}(1)\) is the group of quaternions of norm 1, equivalent to \(\text{SU}(2)\) and topologically a 3-sphere.

Ciascuna di queste affermazioni è abbastanza semplice da giustificare usando la definizione di \(\text{Sp}(n)\): per esempio, è la stessa pagina di wikipedia a dire che \(\text{Sp}(2,\mathbb C)=\text{SL}(2,\mathbb C)\) è semplicemente il gruppo speciale lineare (basta fare il conto per accorgersi che una matrice 2x2 preserva la forma antisimmetrica standard se e solo se ha determinante 1), e allora \[\text{Sp}(1)=\text{Sp}(2,\mathbb C)\cap \text{SU}(2)=\text{SU}(2).\]Per quanto riguarda l'affermazione sul gruppo lineare quaternionico, quella segue (facendo attenzione al fatto che "il determinante di una matrice ad entrate nei quaternioni" non è definito, strettamente parlando; o meglio è definito solamente partendo da una rappresentazione di \(\text{M}(n,\mathbb H)\) dentro \(\text{M}(2n,\mathbb C)\)) esattamente dalla particolare rappresentazione scelta: vedi qui.