Matrice semidefinita positiva e segno autovalori
Sappiamo che una matrice simmetrica è semidefinita positiva se e solo se ha tutti gli autovalori non negativi.
Se moltiplichiamo due matrici semidefinite positive $A$ e $B$ dovremmo allora ottenere una matrice $AB$ avente tutti gli autovalori non negativi, giusto?
Ma allora posso dedurre che il prodotto di matrici semidefinite positive è una matrice semidefinita positiva?
Se moltiplichiamo due matrici semidefinite positive $A$ e $B$ dovremmo allora ottenere una matrice $AB$ avente tutti gli autovalori non negativi, giusto?
Ma allora posso dedurre che il prodotto di matrici semidefinite positive è una matrice semidefinita positiva?
Risposte
Se le matrici che consideri ammettono una base comune di autovettori, la risposta è sì!
Esercizio!
In caso avverso: ci devo pensare.
Esercizio!
In caso avverso: ci devo pensare.
Nel post precedente ho dimenticato di precisare che sono interessato al caso di matrici reali, simmetriche e definite positive.
Ho anche commesso un'imprecisione: il prodotto di due matrici simmetriche non è in generale una matrice simmetrica (si possono costruire controesempi anche con matrici di dimensione 2*2), quindi il prodotto di due matrici semidefinite positive non è in generale una matrice semidefinita positiva.
Quello che però posso sperare che si possa dimostrare è che il prodotto di due matrici semidefinite positive sia una matrice avente tutti gli autovalori reali positivi.
Nel caso specifico che hai detto tu, cioè se le due matrici ammettono una base comune di autovettori, la risposta è chiaramente si! Visto che le matrici reali, simmetriche e semidefinite positive hanno tutti gli autovalori positivi è sufficiente prendere ciascun elemento della base di autovettori, considerare i due relativi autovalori collegati alle due matrici e moltiplicarli, ottenendo così gli autovalori della matrice prodotto, che sono chiaramente positivi.
Nel caso più generale (cioè se non si suppone che le due matrici ammettano una base comune di autovettori) questa proprietà continua a valere?
Ho anche commesso un'imprecisione: il prodotto di due matrici simmetriche non è in generale una matrice simmetrica (si possono costruire controesempi anche con matrici di dimensione 2*2), quindi il prodotto di due matrici semidefinite positive non è in generale una matrice semidefinita positiva.
Quello che però posso sperare che si possa dimostrare è che il prodotto di due matrici semidefinite positive sia una matrice avente tutti gli autovalori reali positivi.
Nel caso specifico che hai detto tu, cioè se le due matrici ammettono una base comune di autovettori, la risposta è chiaramente si! Visto che le matrici reali, simmetriche e semidefinite positive hanno tutti gli autovalori positivi è sufficiente prendere ciascun elemento della base di autovettori, considerare i due relativi autovalori collegati alle due matrici e moltiplicarli, ottenendo così gli autovalori della matrice prodotto, che sono chiaramente positivi.
Nel caso più generale (cioè se non si suppone che le due matrici ammettano una base comune di autovettori) questa proprietà continua a valere?
"thedarkhero":No, non ce la fai; ho trovato il seguente esempio:
[...] Quello che però posso sperare che si possa dimostrare è che il prodotto di due matrici semidefinite positive sia una matrice avente tutti gli autovalori reali positivi. [...]
\[
A=\pmatrix{
1 & 2\\
2 & 5\\
},\,B=\pmatrix{1 & -1\\-1 & 2\\},\,A\times B=\pmatrix{-1 & 3\\
-3 & 8\\}.
\]
Le matrici \(A\) e \(B\) sono definite positive, ma il loro prodotto non è una matrice definita!
Come dicevo sopra sono d’accordo che il prodotto di matrici reali, simmetriche e semidefinite positive non è in generale una matrice simmetrica, tu ne hai anche fornito un controesempio esplicito.
La questione che avevo posto successivamente era la seguente: il prodotto di due matrici reali, simmetriche e semidefinite positive è una matrice che ha tutti gli autovalori reali e non negativi?
La questione che avevo posto successivamente era la seguente: il prodotto di due matrici reali, simmetriche e semidefinite positive è una matrice che ha tutti gli autovalori reali e non negativi?
T'ho già risposto: no; la precedente matrice \(\displaystyle A\times B\) ha due autovalori reali di segni opposti, ed è un prodotto di matrici reali, simmetriche e definite positive!
Gli autovalori della matrice $A\timesB$ sono $\frac{7+-3\sqrt(5)}{2}$, che sono entrambi positivi. Mi sbaglio?
Hai ragione: sbagliato io un calcolo...
Bellissima sta cosa, non la conoscevo. Cercando in giro ho trovato le cose seguenti.
Se $A$ è simmetrica e definita positiva la possiamo diagonalizzare col teorema spettrale ottenendo $M^(-1)AM = D$ diagonale con gli autovalori positivi, estraendo le radici quadrate otteniamo una matrice $sqrt(D)$ (chiamiamola così) il cui quadrato è $D$, e quindi definendo $sqrt(A) := M sqrt(D) M^(-1)$, il quadrato di questa matrice è uguale ad $A$.
Quindi possiamo parlare della radice quadrata di $A$, che si dimostra essere unica (clic).
Ora, supponiamo di avere due matrici simmetriche e definite positive $A$ e $B$ (in particolare invertibili) e sia $C=sqrt(B)$. Allora gli autovalori di $AB$ sono gli stessi degli autovalori di $CAC$. Infatti se $lambda$ è autovalore di $AB$ con autovettore $w$ allora $C^(-1)A^(-1)w$ è autovettore di $CAC$ con autovalore $lambda$ perché
$CAC * C^(-1)A^(-1)w = Cw = C^(-1)A^(-1) * AC^2 w = C^(-1)A^(-1) * ABw = C^(-1)A^(-1) * lambda w = lambda C^(-1)A^(-1) w$,
e al contrario se $lambda$ è autovalore di $CAC$ con autovettore $v$ allora $lambda$ è autovalore di $AB$ con autovettore $ACv$ perché
$AB * ACv = AC * CAC v = AC * lambda v = lambda * ACv$.
Questo è interessante perché $C$ è ovviamente simmetrica e quindi $CAC$ è simmetrica e definita positiva, quindi gli autovalori di $CAC$ (uguali agli autovalori di $AB$) sono positivi.
Probabilmente questo si generalizza al caso semidefinito ma non mi sembra immediato.
Questa è la fonte.
Se $A$ è simmetrica e definita positiva la possiamo diagonalizzare col teorema spettrale ottenendo $M^(-1)AM = D$ diagonale con gli autovalori positivi, estraendo le radici quadrate otteniamo una matrice $sqrt(D)$ (chiamiamola così) il cui quadrato è $D$, e quindi definendo $sqrt(A) := M sqrt(D) M^(-1)$, il quadrato di questa matrice è uguale ad $A$.
Quindi possiamo parlare della radice quadrata di $A$, che si dimostra essere unica (clic).
Ora, supponiamo di avere due matrici simmetriche e definite positive $A$ e $B$ (in particolare invertibili) e sia $C=sqrt(B)$. Allora gli autovalori di $AB$ sono gli stessi degli autovalori di $CAC$. Infatti se $lambda$ è autovalore di $AB$ con autovettore $w$ allora $C^(-1)A^(-1)w$ è autovettore di $CAC$ con autovalore $lambda$ perché
$CAC * C^(-1)A^(-1)w = Cw = C^(-1)A^(-1) * AC^2 w = C^(-1)A^(-1) * ABw = C^(-1)A^(-1) * lambda w = lambda C^(-1)A^(-1) w$,
e al contrario se $lambda$ è autovalore di $CAC$ con autovettore $v$ allora $lambda$ è autovalore di $AB$ con autovettore $ACv$ perché
$AB * ACv = AC * CAC v = AC * lambda v = lambda * ACv$.
Questo è interessante perché $C$ è ovviamente simmetrica e quindi $CAC$ è simmetrica e definita positiva, quindi gli autovalori di $CAC$ (uguali agli autovalori di $AB$) sono positivi.
Probabilmente questo si generalizza al caso semidefinito ma non mi sembra immediato.
Questa è la fonte.
Le osservazioni di Armando e Martino sono assolutamente corrette. Armando nel caso in cui le due matrici abbiano i medesimi autovettori e Martino nel caso in cui le due matrici siano congruenti...e quindi vale anche se le due m. simm. sono semidefinite positive ED hanno il medesimo rango.
Ma se le due matrici sono semidefinite positive ed hanno rango diverso (ovvero non sono congruenti) allora mi vengono in mente solo due scenari possibili:
A ) $AB$ è ancora semidefinita positiva e $Rk(AB)=min Rk(A, B)$ (questo perché, qualitativamente parlando, sono tutte rotazioni che non invertono gli assi ma li riscalano al minimo a lunghezza zero)
B ) oppure gli autovalori potrebbero essere non tutti reali
È il caso B che mi dà da pensare...
Voi pensate che si possa escludere?
Ma se le due matrici sono semidefinite positive ed hanno rango diverso (ovvero non sono congruenti) allora mi vengono in mente solo due scenari possibili:
A ) $AB$ è ancora semidefinita positiva e $Rk(AB)=min Rk(A, B)$ (questo perché, qualitativamente parlando, sono tutte rotazioni che non invertono gli assi ma li riscalano al minimo a lunghezza zero)
B ) oppure gli autovalori potrebbero essere non tutti reali
È il caso B che mi dà da pensare...
Voi pensate che si possa escludere?
Ottimo lavoro Martino! Vero, è una cosa bellissima che non conoscevo affatto. A pelle anche io avrei detto che il prodotto di due matrici definite positive in generale non ha nessuna proprietà spettrale. E avrei avuto torto.
Si può vedere il caso semidefinito come un caso limite del caso definito.
Supponiamo che \(A\) e \(B\) siano matrici simmetriche e semidefinite positive. Esiste una successione \(B_n\) di matrici definite positive tale che \(B_n\to B\). (Questo significa che ogni entrata di \(B_n\) converge all'entrata corrispondente di \(B\)). Questo è semplice da dimostrare, basta ricordare che \(B\) è diagonalizzabile, ma la forma diagonale ha qualche zero sulla diagonale principale; allora costruiamo \(B_n\) rimpiazzando tutti questi zeri con, ad esempio, \(1/n\).
Per quanto dimostrato da Martino, gli autovalori di \(AB_n\) sono tutti non negativi. Ma d'altra parte \(AB_n\to AB\), come è ovvio, e questo implica che ogni autovalore di \(AB\) è il limite di una successione di autovalori di \(AB_n\). Questo è meno ovvio, ma classico, se ne è parlato anche su questo forum di sicuro (cercare: "gli autovalori sono una funzione continua delle entrate di una matrice", oppure "le radici di un polinomio sono una funzione continua dei coefficienti"). E in conclusione, ciascuno degli autovalori di \(AB\) è limite di una successione di numeri non negativi, perciò è un numero non negativo, come volevamo dimostrare.
"Martino":
Probabilmente questo si generalizza al caso semidefinito ma non mi sembra immediato.
Si può vedere il caso semidefinito come un caso limite del caso definito.
Supponiamo che \(A\) e \(B\) siano matrici simmetriche e semidefinite positive. Esiste una successione \(B_n\) di matrici definite positive tale che \(B_n\to B\). (Questo significa che ogni entrata di \(B_n\) converge all'entrata corrispondente di \(B\)). Questo è semplice da dimostrare, basta ricordare che \(B\) è diagonalizzabile, ma la forma diagonale ha qualche zero sulla diagonale principale; allora costruiamo \(B_n\) rimpiazzando tutti questi zeri con, ad esempio, \(1/n\).
Per quanto dimostrato da Martino, gli autovalori di \(AB_n\) sono tutti non negativi. Ma d'altra parte \(AB_n\to AB\), come è ovvio, e questo implica che ogni autovalore di \(AB\) è il limite di una successione di autovalori di \(AB_n\). Questo è meno ovvio, ma classico, se ne è parlato anche su questo forum di sicuro (cercare: "gli autovalori sono una funzione continua delle entrate di una matrice", oppure "le radici di un polinomio sono una funzione continua dei coefficienti"). E in conclusione, ciascuno degli autovalori di \(AB\) è limite di una successione di numeri non negativi, perciò è un numero non negativo, come volevamo dimostrare.
Grazie dissonance, ecco vedi io non avrei mai pensato a un argomento del genere 
"Martino":
Grazie dissonance, ecco vedi io non avrei mai pensato a un argomento del genere
Fortuna mia, così posso dire qualcosa di significativo con un semplice argomento standard, dopo che tu hai fatto tutto il lavoro.
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