Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti rieccomi con l'ennesimo esercizio:
Sia \(\displaystyle A = (a_{ij}) \) una matrice \(\displaystyle n \times n \) tale che gli unici elementi non nulli sono \(\displaystyle a_{12} = a_{23} = ... = a_{n-1\ n} = 1\). Dimostrare che \(\displaystyle A \) è nilpotente.
Allora, sono partito dai casi più semplici e vedo dove arrivo:
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix}0 & a_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) da cui vedo che \(\displaystyle A^2 = 0 \)
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 ...
[highlight][/highlight]Ciao a tutti vorrei chiarire alcuni dubbi su una tipologia di esercizi... La traccia è la seguente:
Stabilire se i seguenti sottoinsiemi sono spazi vettoriali reali e, nel caso, trovarne una base:
\(\displaystyle N(A) \), \(\displaystyle R(A) \), \(\displaystyle C(A) \) per \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&6&9\end{pmatrix} \) e \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix} \)
L'esercizio è banale, lo so, ma vorrei chiarire alcuni dubbi che ho una ...
Ciao a tutti, una domanda lampo. Un esercizio mi chiede di trovare una base di \(\displaystyle \mathbb{R}^{m,n} \) e di \(\displaystyle \mathbb{C}^{m,n} \). La domanda è banale ma da un punto di vista notazionale come scrivereste la risposta? Cioè so che posso considerare le basi canoniche che sono costituite da \(\displaystyle m \times n\) matrici le cui entrate sono tutte nulle ad eccezione di una soltanto, che assume il valore 1, a "turno" su ogni matrice... Ma formalmente? Ahhhh questa ...
Ciao a tutti avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio:
Provare che l'insieme delle matrici simmetriche \(\displaystyle n \times n \) è uno spazio vettoriale.
In un esercizio precedente sono riuscito a dimostrarlo per matrici di taglia \(\displaystyle 2 \times 2 \). Ora dovrei generalizzare il risultato ottenuto.
Anzitutto, essendo un sottoinsieme dello spazio vettoriale delle matrici quadrate, di taglia \(\displaystyle n \times n \), le operazioni interna ed esterna sono già ...
Ciao a tutti, mi servirebbe una mano con l'ennesimo esercizio di algebra:
Mostrare che se \(\displaystyle V\subseteq W \subseteq \mathbb{R}^n\) sono sottospazi, allora \(\displaystyle \dim V \leq \dim W \).
Da un punto di vista formale non saprei come dimostrarlo... So solo che \(\displaystyle W \) potrà avere dimensione al più \(\displaystyle n \), così come \(\displaystyle V \) potrà avere dimensione \(\displaystyle n \) solo se \(\displaystyle \dim W = n \). Nel caso in cui ...
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con un esercizio:
Se possibile trovare una base di \(\displaystyle \{(x,y,z,t)\in \mathbb{R^4}: x+y+z+t=0\} \) che contenga i vettori
(i) \(\displaystyle (1,-1,0,0) \) e \(\displaystyle (1,-1,1,-1) \)
(ii) \(\displaystyle (1,-1,1,-1) \) e \(\displaystyle (-1,1,-1,1) \)
(iii) \(\displaystyle (1,2,3,-6) \)
In generale so come trovare una base di questo sottospazio, di solito procederei così:
Prima di tutto determino la dimensione per capire quanti ...
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con un esercizio riguardante gli spazi vettoriali di funzioni.
1. Provare che l'insieme di tutte le funzioni differenziabili \(\displaystyle f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R} \) è uno spazio vettoriale reale.
2. Considerando i polinomi di ogni grado, possiamo mostrare che questo spazio vettoriale non è di dimensione finita?
(premetto che è la prima volta che incontro esercizi del genere quindi perdonate la mia incompetenza in merito e siate brutali nella ...
Sia $N_{r}(x) = { (y1,y2) \in R^{2} | |y1 - x1| + |y2 - x1| < r }$ l'insieme dei punti del piano costituito dal quadrato di lato $r$ con diagonali parallele agli assi.
Voglio mostrare che $D_{2} = { N_{r}(x) | r > 0, x \in R^{2} }$ è una base per la topologia euclidea del piano.
- Dalla definizione di base voglio mostrare che l'unione di tutti gli elementi in $D_{2}$ mi restituisce il piano e questo è banale infatti $R^{2} = \bigcup_{p \in R^{2}} N_{r}(p)$ dove $r > 0$.
Se prendo l'unione vuota ottengo l'insieme vuoto che appartiene alla topologia. ...
Ciao a tutti, mi servirebbe una mano con l'ennesimo esercizio...
Esiste una relazione tra \(\displaystyle \mathrm{Col}(A) \) e \(\displaystyle \mathrm{Col}(A^{2}) \)?
Esiste una relazione tra \(\displaystyle \mathrm{Row}(A) \) e \(\displaystyle \mathrm{Row}(A^{2}) \)?
Esiste una relazione tra \(\displaystyle \mathrm{Ker}(A) \) e \(\displaystyle \mathrm{Ker}(A^{2}) \)?
So che da regolamento dovrei postare un mio tentativo, ma non ho la più pallida idea di ciò che dovrei fare...
Grazie a tutti
Ciao a tutti, ho bisogno di una mano con un esercizio, so che è molto facile ma sono le prime volte che incontro questi argomenti e avrei bisogno di qualche chiarimento, spero possiate aiutarmi.
-Calcolare i sottospazi \(\displaystyle \mathrm{Col}(I_n) \), \(\displaystyle \mathrm{Row}(I_n) \) e \(\displaystyle \mathrm{Ker}(I_n) \). Cosa possiamo dire di questi sottospazi nel caso di una matrice invertibile qualunque?
Allora... Credo di aver capito che \(\displaystyle \mathrm{Ker}(I_n) = ...
Rifacendomi ad una discussione nata in un altro post... Chiedo a chi lo sa, perché io purtroppo non ho trovato nulla, stranamente neanche nel mio libro di topologia.
Sia $X$ uno spazio topologico connesso di dimensione $n$. Quale ipotesi deve soddisfare il sottospazio $Y \subset X$ affinché $X\\Y$ sia sconnesso.
Nel caso di $X=\mathbb{R}^{n}$ penso basti che $Y$ abbia dimensione $n-1$, nel caso generale non lo so.
Ciao a tutti, avrei bisogno di un aiuto per il seguente esercizio:
Sia \(\displaystyle A \) una matrice \(\displaystyle a \times b \) e \(\displaystyle B \) una matrice \(\displaystyle b \times a \). Dimostrare che, se \(\displaystyle a > b \), allora \(\displaystyle \det(AB)=0 \).
Ho provato a svolgere l'esercizio in questo modo:
Supponiamo per assurdo che \(\displaystyle \det(AB)\neq 0 \). Da questo sappiamo che \(\displaystyle \exists (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\).
Ma ciò non è possibile ...
Ciao a tutti, avrei una domanda su un semplice esercizio riguardante la riduzione per righe e il rango di una matrice con parametro.
La matrice è questa: \(\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&0\\a&0&1\end{pmatrix} \)
Mi viene in mente che la matrice è riducibile anzitutto per \(\displaystyle a=0 \) e in questo caso \(\displaystyle \rho(A) = 3 \).
Poi vedo che è possibile modificare il primo elemento della terza riga sommando o sottraendo alla terza riga un multiplo della prima ...
Ciao. Il titolo dice tutto, credo. Se \( P \) è un poset, la topologia dell'ordine su \( P \) è la topologia che ha per base gli intervalli del tipo \( \left]a,b\right[ \), e tutti gli intervalli del tipo \( \left[\bot,b\right[ \) e \( \left]a,\top\right] \) qualora \( P \) ammetta un minimo \( \bot \) e un massimo \( \top \), al variare di \( a,b\in P \).
Esiste un caratterizzazione di questa topologia come "la più grezza che [...]"/"la più fine che [...]", o esiste una caratterizzazione ...
Buongiorno ragazzi,
Una delle proprietà delle matrici trasposte è che hanno lo stesso rango della matrice "di partenza":
Ovvero: $rho(A)=rho(A^t)$.
A livello "teorico" questa cosa è semplice poichè, dalla definizione di rango:
"Sia A una matrice, è detto rango della matrice A ($rho(A)$)il numero massimo delle colonne linearmente indipendenti. Si dimostra che il numero massimo delle colonne coincide con il numero massimo delle righe linearmente indipendenti di A"
E dalla ...
Salve a tutti, nell'esercizio che mi è stato proposto mi viene chiesto di dare una dimostrazione del fatto che il Gruppo $GL(n,CC)$ sia connesso seguendo questa strada.
Siano $A$ e $B$ matrici invertibili $nxxn$.
1) Dimostro che esistono solo finite soluzioni complesse $lambda$ per $det(lambdaA+(1-lambda)B)=0$.
2)Dimostro che esiste un cammino continuo $A(t)=lambda(t)A+(1-lambda(t))B$ che connette $A$ con $B$ tale che ...
Ciao a tutti, vorrei avere se possibile un aiuto su un problema che non so come affrontare:
Sia \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \). Risolvere le equazioni matriciali \(\displaystyle AX=0 \) e \(\displaystyle XA=0 \).
Ho provato a risolvere la prima equazione, ossia \(\displaystyle AX=0 \). Ma credo di aver ristretto l'insieme delle soluzioni supponendo che \(\displaystyle X \) sia una matrice in \(\displaystyle \mathbb{R}^{2,2} \). Affinché il prodotto righe ...
Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per un esercizio. La traccia è questa:
è possibile trovare una matrice quadrata di taglia qualsiasi, diversa dalla matrice identica, tale che A^2 sia la matrice identica? Ripetere per ogni A^n
Ho provato a risolvere questo esercizio ma non riesco proprio in alcun modo, mi sta facendo impazzire! Spero possiate aiutarmi
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