Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve ragazzi, vi scrivo oggi perchè ho dei dubbi riguardo alle forme quadratiche, quando il professore mi da degli esercizi so come risolverli, ovvero trovo gli autovalori e vedo il segno di essi, tuttavia non riesco a capire quando una forma quadratica è definita positiva, definita negativa, semidefinita positiva, semidefinita negativa o indefinita.
Da quello che ho capito, quando ho:
Tutti gli autovalori positivi maggiori di zero allora ho una forma definita positiva
Tutti gli autovalori ...
Salve a tutti,
vi scrivo in quanto sto cercando una conferma.
L'argomento è relativo alla Geometria euclidea ed al sistema assiomatico che la sottende, in particolare agli assiomi di continuità (Continuità Circolare, Elementare, Assioma di Archimede e di Aristotele ed infine, assioma di Dedekind, il padre di tutti gli assiomi citati )
Ogni volta che faccio riferimento alla lunghezza dei segmenti o alla misura in gradi di un angolo, utilizzo implicitamente (cioè assumo) l'assioma di ...
Ciao a tutti!
Nell'ultimo compito di Geometria e Algebra lineare mi sono scontrata con un esercizio diverso dal solito.
Date le rette: $ r_k $ $: { (x - z = 0), (x - y = k) } $ e $ s :{ (2y - x = 1), (x + y = 0) } $ .
Chiede di determinare la posizione reciproca tra le due rette al variare di $ k $ e ho fatto tutto il procedimento e mi torna.
Poi chiede per i valori di $ k $ per i quali le rette sono sghembe (a me tornano sghembe per valori di ...
Salve a tutti sono nuova nel forum e spero mi possiate perdonare per eventuali errori
Avrei un bisogno di un aiutino per risolvere questo problema di geometria:
Fissato un riferimento cartesiano dello spazio, si considerino la retta r passante per i punti A(2,1,0) e B (0,3,0)
la retta s: $\{(x-1=0),(y+z-1=0):}$ e il punto P(2,0,0).
a) determinare l'equazione del piano $\alpha$ contenente la retta r e il punto P (Risposta $\alpha$ :z=0)
b) determinare l'equazione del piano ...
mi aiutereste perfavore per questo esercizio?
sia B={v1=(1,0,0,0), v2=(0,0,-1,-1), v3=(1,0,0,1), v4=(0,1,0,1)} una base di R^4 ed f: R^4 --> R^4 l'endomorfismo di R^4 definito da f(v1)=(h, 0, 2, 0), f(v2)=(-2h, 0, 0, h), f(v3)=(0, 0, 0, 0), f(v4)=(0, 0, 0, h).
Determinare al variare del parametro reale h una base e la dimensione di Ker f ed Imf.
Per h=2 il vettore (-2, 0, 2, 4) appartiene ad Imf?
io ho provato a risolverlo trovando la matrice associata rispetto alla base che mi dava...però ...
Abbiamo $A$ matrice simmetrica $n \times n$, $q_1$ vettore $1 times n$ tale che $||q_1||_2=1$ (sia $A$ che $q_1$ sono a valori reali).
Poniamo $alpha_1= q_1^T A q_1 in RR$, $u_2=(A-alpha_1 I)q_1$
Supponendo che $u_2$ sia diverso dal vettor nullo, poniamo $q_2= (u_2)/(||u_2 ||_2)$
Vale $q_1^T u_2= q_1^T(Aq_1 - alpha_1 q_1)= q_1^T A q_1 -alpha q_1^T q_1=0$,
dunque $q_2$ ha norma $1$ ed è ortogonale a $q_1$.
Poniamo $alpha_2=q_2^T A q_2, beta_1= q_1^T A q_2 in RR$, ...
Salve a tutti,
sto affrondando un esercizio sulle curve parametrizzate e non riesco a capire bene come affrontare il problema. Di seguito il testo dell'eservizio:
Determinare una curva parametrizzata con l’ascissa curvilinea $s$ tale che la curvatura e la torsione siano date rispettivamente da $k(s) = \frac{1}{1+s^2}$ e $\tau (s) = 0$.
Utilizzare metodi numerici per risolvere il problema.
Io avevo pensato di utilizzare le equazioni di Whewell visto che la torsione è nulla (si ...
ciao a tutti!
Il mio problema è questo: le dispense del prof dicono che il prodotto scalare di due funzioni è
\( (x(t),y(t))=\int_{T/2}^{-T/2}x(t)y\ast (t) \, dt \)
dove
\( y\ast(t) \) è il coniugato di y(t)
Poi mi dice
Infatti
\( \int_{T/2}^{-T/2}cos(2\pi mt/T)cos(2\pi nt/T) \, dt\)
(per cui immagino che il coniugato del coseno sia se stesso essendo reale) risulta uguale a
\(1/2 \int_{T/2}^{-T/2}cos[2\pi(m+n)t/T]dt+1/2\int_{T/2}^{-1/2}cos[2\pi (m-n)t/T] \, dt \)
per le formule ...
Salve a tutti,
Sto cercando di capire cosa sia il nucleo di un'applicazione lineare. Vi riporto, in particolare questo esercizio di cui non ho capito NIENTE
Calcolare dimensione del Ker(B) della matrice
$ B=( ( 1 , 0 , 3 , 1 ),( 2 , 2 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , -2 , -1 ) ) $
Scusate se possono sembrarvi cose ovvie ma il mio cervello sembra non voglia funzionare!
Carissimi ho una domanda da porvi. Non riesco a risolvere quest esercizio e avrei bisogno di una mano.
Il testo recita: date due rette di equazione
\begin{equation}
\begin{cases}
x+2y-z+3=0 & \\ x+y+2z-1=0
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
3x-y+2=0 & \\ 2x-3y+z=0
\end{cases}
\end{equation}
Determinare una isometria dello spazio che sovrapponga la prima retta alla seconda inviando $(-10,5,3)$ in $(-2,-4,-8)$
In pratica devo ottere ...
Salve ragazzi, vi riporto prima di tutto il testo dell'esercizio :
Sia $ f : R^3 -> R^2 $ con $ f(x, y, z) = (x+y, z) $
Trovare equazioni parametriche e cartesiane dei sottospazi affini H e K delle soluzioni dei sistemi :
$ f(x, y, z) = (1, 2) $
$ f(x,y,z) = (2, 1) $
Non riesco bene a capire cosa chiede l'esercizio. Vi riporto ciò che ho capito io :
è come se lui mi chiedesse equazioni cartesiane e parametriche di questi sistemi :
$ H : { ( x+y = 1 ),( z = 2 ):}<br />
K : { ( x+y = 2 ),( z = 1 ):} $
A questo punto pensavo di ...
Salve ragazzi, stavo trovando alcune difficoltà con questo esercizio:
L'elemento di di minima distanza da (2,i) è?
per risolverlo ho posto \(\displaystyle \alpha \begin{pmatrix}
1\\ i
\end{pmatrix}+\beta \begin{pmatrix}
i\\ 1
\end{pmatrix}= \gamma \begin{pmatrix}
2\\ i
\end{pmatrix} \)
e di conseguenza risolvo tutto il sistema trovando dei valori, non so però se è questo il procedimento di farlo oppure sbaglio qualcosa
ciao ragazzi! devo calcolare il volume di una piramide di cui mi danno le coordinate in una spazio $x,y,z$ .
Le coordinate sono $O(0,0,0) ; A(2,0,0) ; B(0,4,0) ; C(0,0,4)$
so che il volume di una piramide si calcola : (area di base x altezza) / 3 .
in questo caso l'altezza deve essere 4 , ma come calcolo l'area di base? non riesco a orientarmi in $R^3$ !
grazie mille in anticipo !
ps il risultato è $16/3$
Dimostrare che se la matrice associata ad una applicazione lineare e' invertibile allora l'applicazione e' un isomorfismo.
Sia $ L_H: R^2 ->R^2 $
la cui matrice e'
$ H = ((h_11,h_12),(h_21, h_22)) $
e sia
$ x = ((a),(b))$
Allora
$ L_H(x) = H x = y$
Per ipotesi la matrice $H$ e' invertibile, esiste quindi $ H^(-1)$
quindi
$ H^(-1) H x = H^(-1) y $
$ x = H^(-1) y $
Ovvero e' possibile definire l'applicazione inversa
$ L_(H^(-1))(y) = H^(-1) y = x$
Vorrei sapere se e' corretto
Salve a tutti,
sto studiando per geometria I e ho incontrato la relazione di Grassman per gli spazi affini. La dimostrazione nel caso in cui l'intersezione tra i due spazi affini non è vuota l'ho capita e non ho problemi. Ho perplessità riguardo la dimostrazione nel caso che l'intersezione sia vuota; infatti (premettendo che il libro non è dei migliori) non capisco perchè afferma che anche se l'intersezione degli spazi affini è vuota, i loro spazi direttori hanno intersezione di dimensione ...
Ho un esercizio che non riesco a risolvere, ho difficoltà anche nell'impostarlo correttamente.
Nello spazio di $L^2(a,b)$ siano dati gli operatori $X=x$ e $P=id/(dx)$. Si dimostri esplicitamente che l'operatore $C=XP+PX$ è hermitiano sia che si usino le condizioni al contorno $f(a)=f(b)=0$ oppure $f(a)=f(b)=0$. Risolvere l'equazione agli autovalori per C e dimostrare che essa non ammette soluzioni che rispettino le condizioni di contorno date.
Ho ...
Salve a tutti,
ho 2 rette in forma cartesiana :
r : {\(x+3y+z=0 ; x-y = 0 \)
s : { \(3x+9y+3z =0 ; x+3z = 0 \)
Devo calcolare la distanza tra r ed s.
Io ho ragionato nel seguente modo.
Vado a calcolare il rango della matrice e se esso è massimo, vuol dire che le rette sono sghembe e la distanza è quella di un qualsiasi P appartenente ad r passante per s // r.
Faccio l'equazione del fascio passante per s :
\(\displaystyle H*(3x+9y+3z)+K(x-3z) =0 \) \) con H,K diversi da (0,0) ...
Salve a tutti,
premetto che non è una richiesta per "farmi risolvere" l'esercizio da voi... ma solo una richiesta per capire come e quale sia il procedimento giusto per risolvere questa tipologia di esercizi passo passo.
Ho la seguente traccia :
In un sistema di riferimento ortonormale positivo, il piano che contiene la retta
\(\displaystyle r : x-y+2z =0 ; 3x-y-z =0 \)
ed è parallelo alla retta
\(\displaystyle y+z-1 =0 ; x-2z-1=0
\)
incontra la retta : \(\displaystyle x=t ; y= t ; ...
Ciao a tutti ! Ho dei problemi con questo esercizio sulle rette nello spazio
Date le rette
$ r1 $ $ { ( x-2y+z-4=0 ),(2x+y-z+2=0 ):} $
$ r2 $ $ (x-2)/-2= (y+3)/2=(z+1)/-5 $
Scrivere le equazioni della retta passante per $ P (-3,2,-4) $ che si appoggia alle rette $ r1$ ed $r2$
Devo quindi trovare la retta che congiunge il punto dato con le altre due rette.
Ho scritto le due rette date in forma parametrica ricavando
$A= (t,3t-2,5t)$ generico punto della ...
Ciao a tutti ! Ho delle difficoltà con questo esercizio di geometria. Siano date le rette
$ r1{ ( x-2y+z-4=0 ),( 2x+y-z+2=0 ):} $
$ r2 $ $ (x-2)/-2=(y+3)/2=(z+1)/-5 $
Scrivere le equazioni della retta che interseca le suddette rette , avente vettore direttore $ u = (-1,2,1) $
Ora ho scritto le due rette in forma parametrica...
r1 $ { ( x=t ),( y=3t-2 ),( z=5t ):} $
r2 $ { ( x=-2v+2 ),( y=2v-3 ),( z=-5v-1 ):} $
Quindi ho considereato
$ A= (t,3t-2,5t) $ il generico punto di $ r1 $
$ B= (-2v+2,2v-3,-5v-1) $ il generico punto di ...
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