Retta incidente due rette

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Ho delle difficoltà con questo esercizio di geometria. Siano date le rette

$ r1{ ( x-2y+z-4=0 ),( 2x+y-z+2=0 ):} $

$ r2 $ $ (x-2)/-2=(y+3)/2=(z+1)/-5 $

Scrivere le equazioni della retta che interseca le suddette rette , avente vettore direttore $ u = (-1,2,1) $


Ora ho scritto le due rette in forma parametrica...


r1 $ { ( x=t ),( y=3t-2 ),( z=5t ):} $

r2 $ { ( x=-2v+2 ),( y=2v-3 ),( z=-5v-1 ):} $

Quindi ho considereato

$ A= (t,3t-2,5t) $ il generico punto di $ r1 $

$ B= (-2v+2,2v-3,-5v-1) $ il generico punto di $ r2 $

Ora per trovare la retta richiesta come posso procedere? Posso imporre l'allineamento dei vettori $ AB $ e $ u $ ?

Quindi per imporre l'allineamento dovrei scrivere la relazione $ AB = k * u $ con $ s $ scalare???

E' corretto? O vi è un altro modo? Grazie

[Emar1]

Sono un po' stanco, non vorrei sbagliarmi ma io considererei la retta:
\[\mathbf{r}_3(t) := t \mathbf{u} + \mathbf{v}\]
Dove \(\mathbf{u}\) è il vettore dato, per determinare \(\mathbf{v}\) imponi che \(\mathbf{r}_3\) intersechi le altre due.

[stormy1]

@marthy-92
io seguirei il tuo ragionamento
$A-B=(t+2v-2,3t-2v+1,5t+5v+1)$
risolvendo il sistema
$3t-2v+1=2(5t+5v+1)$
$5t+5v+1=-t-2v+2$
dovremmo trovare 2 punti $P,Q$, uno sulla prima retta e uno sulla seconda,per i quali la retta $PQ$ abbia i requisiti richiesti

[marthy_92]

Grazie a tutti e due ! Stormy avrei una domanda .. mi sto un pò confondendo.. Devo imporre il parallelismo tra i vettori
$ AB $ e $ u $ giusto? Oppure l'allineamento ? :/
In ogni caso, non ho capito come si a quel sistema? Potresti spiegarmi meglio per favore?

[stormy1]

il parallelismo tra $AB$ ed $u$
infatti il sistema che ho scritto impone che il vettore $AB$ sia parallelo ad $u$ in quanto ha la seconda componente doppia della terza e la terza opposta della prima