Esercizio sulle rette: retta per 3 punti

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Ho dei problemi con questo esercizio sulle rette nello spazio

Date le rette


$ r1 $ $ { ( x-2y+z-4=0 ),(2x+y-z+2=0 ):} $

$ r2 $ $ (x-2)/-2= (y+3)/2=(z+1)/-5 $

Scrivere le equazioni della retta passante per $ P (-3,2,-4) $ che si appoggia alle rette $ r1$ ed $r2$

Devo quindi trovare la retta che congiunge il punto dato con le altre due rette.

Ho scritto le due rette date in forma parametrica ricavando

$A= (t,3t-2,5t)$ generico punto della retta $ r1$

$B= (-2v+2,2v-3,-5v-1)$ generico punto della retta $ r2$

Quindi ho imposto l'allineamento dei vettori $AB$ e $AP$ mediante la relazione

$ AB = (t+2v-2,3t-2v+1,5t,4v+1) = K (t+3,3t-4,5t+4) $

da cui viene fuori il sistema nelle incognite $ t $ e $v$

$ { ( (1-k)t+2v=2+3k ),( (3-3k)t-2v=-1-4k ),( (5-5k)t+5v=-1+4k) :} $

quindi per la compatibilità del sistema deve aversi

$ | ( 1-k , 2 , 2+3k ),( 3-3k , -2 , -1-4k ),( 5-5k , 5 , -1+4k ) |= -(k-1)(23k+53)=0 $

A questo punto la soluzione $ k = 1$ non mi da informazioni, per cui ho considerato l'altra

$ k = -53/23$

Solo che sostituendo questo valore nel sistema ottengo un sistema per cui risulta

$ t = 1/4, v = -66/23 $

Quindi sostituisco nei punti generici e ottengo

$ (13/4,-13/4,81/4), (178/23,-201/23,307/23) $

Solo che scrivendo la retta passante per questi due punti viene sbagliata da quella della soluzione del libro
che invece è

$ { ( 32x+11y-13z+22=0 ),( x+y+1=0 ):} $

Tra l'altro bisogna notare che i punti che ho trovato nemmeno appartengono a questi due piani che danno la retta
Perchè? Dove sbaglio?
Avete qualche altro metodo in caso?

[marthy_92]

Aldoxz ho corretto il punto nel testo della domanda . comunque avevo solo sbagliato a scrivere qui. Nei calcoli l'avevo messo corretto, non capisco perché non venga :/ comunque grazie dell'idea proverò a svolgere col nuovo metodo