Isometra tra rette

[pippolillo]

Carissimi ho una domanda da porvi. Non riesco a risolvere quest esercizio e avrei bisogno di una mano.
Il testo recita: date due rette di equazione

\begin{equation}
\begin{cases}
x+2y-z+3=0 & \\ x+y+2z-1=0
\end{cases}
\end{equation}

\begin{equation}
\begin{cases}
3x-y+2=0 & \\ 2x-3y+z=0
\end{cases}
\end{equation}

Determinare una isometria dello spazio che sovrapponga la prima retta alla seconda inviando $(-10,5,3)$ in $(-2,-4,-8)$

In pratica devo ottere $Y=A(x,y,z)^t+b$ con A ortogonale.

Per prima cosa le ho parametrizzate e ho trovato un punto della prima retta $(5,-4,0)$ e il vettore direzione $(-5,3,1)$ e per la seconda retta ho trovat il punto $(0,2,6)$ e il vettore direzione $(1,3,7)$

A questo punto vorrei prendere per la prima retta i vettori $(1,2,-1)$e $(1,1,2)$ e metterli insieme a (5,-4,0) ma non mi vengono ortogonali ..dove sto sbagliando?

Mettiamo invece di prendere $(1,2,-1)$, $(1,1,2)$ ,$(5,-3,-1)$ che ho calcolato in un altro modo e che sono ortogonali come devo procedere poi per trovare A? devo ortonormalizzare? e se ortormalizzo cosa devo fare?

Grazie a tutti

[pippolillo]

Dopo averci ragionato un pochino ho trovato un altro modo almeno "teorico" per risolvere il problema. Mi trovo i due versori delle due rette e mi calcolo una rotazione nello spazio che manda il versore direzione della prima retta, nel versore direzione della seconda retta. Poi compongo questa matrice di rotazione con la traslazione nello spazio che manda $a=(-10; 5; 3)$ in $b=(-2;-4;-8)$. La domanda da un milione di dollari è come faccio a calcolarmi la matrice di rotazione nello spazio non conoscendo l'angolo di rotazione? me lo tengo come incognita?

Ogni suggerimento è ben accetto! Grazie