Applicazioni lineari invertibili

[davide940]

Dimostrare che se la matrice associata ad una applicazione lineare e' invertibile allora l'applicazione e' un isomorfismo.
Sia $ L_H: R^2 ->R^2 $
la cui matrice e'
$ H = ((h_11,h_12),(h_21, h_22)) $
e sia
$ x = ((a),(b))$
Allora
$ L_H(x) = H x = y$
Per ipotesi la matrice $H$ e' invertibile, esiste quindi $ H^(-1)$
quindi
$ H^(-1) H x = H^(-1) y $
$ x = H^(-1) y $
Ovvero e' possibile definire l'applicazione inversa
$ L_(H^(-1))(y) = H^(-1) y = x$

Vorrei sapere se e' corretto

[abbas90]

Io la penserei così. Sia $ L:VrarrR^n $ la funzione che a un certo vettore $v$ mi associa la n-upla di coordinate del vettore rispetto ad una base considerata(quindi $dimV=n$). Si potrebbe dimostrare che L è isomorfismo e non è complicato, ma scriverlo quì sarebbe lungo. Essendo tale manda basi in basi. Considerata una funzione $f:VrarrW$ e A la matrice associata rispetto alla base di prima. E' ovvio che $L(Imf)=ImA$ e $L(kerf)=kerA$, essendo isomorfismo $dimImf=dimImA$ e $dimkerf=dimkerA$. Ora essendo per ipotesi A invertibile $kerA={0_v}$ e $dimImA=n$, segue che $f$ è bigettiva, quindi invertibile. Cosa ne pensi?Questa dimostrazione non è detto che sia vera perchè l'ho inventata io.

[Sk_Anonymous]

Io farei così:
La matrice $A$ associata all'applicazione lineare è invertibile, quindi è quadrata, ovvero l'applicazione lineare è del tipo $f:RR^n->RR^n$. Inoltre, essendo invertibile, risulta $rank(A)=n$. Quindi $dim(ker(f))=0$ e $dim(Im(f))=n$. Pertanto è iniettiva e suriettiva, quindi si tratta di un isomorfismo, in particolare di un automorfismo.