Distanza tra 2 rette
Salve a tutti,
ho 2 rette in forma cartesiana :
r : {\(x+3y+z=0 ; x-y = 0 \)
s : { \(3x+9y+3z =0 ; x+3z = 0 \)
Devo calcolare la distanza tra r ed s.
Io ho ragionato nel seguente modo.
Vado a calcolare il rango della matrice e se esso è massimo, vuol dire che le rette sono sghembe e la distanza è quella di un qualsiasi P appartenente ad r passante per s // r.
Faccio l'equazione del fascio passante per s :
\(\displaystyle H*(3x+9y+3z)+K(x-3z) =0 \) \) con H,K diversi da (0,0)
Allora i parametri direttori sono : (\(3H+K), (9H), (3H+3K) \) e faccio il prodotto vettoriale con i parametri direttori della retta s che in questo caso sono \(\ (1,1,-5) \).
(\(3H+K), (9H), (3H+3K) *(1,1,-5) = 3H+K+9H -15H-15K -> -3H-14K \) da cui \(\displaystyle H=-14/3 K \) \)
A questo punto sostituisco nell'equazione del fascio ponendo K=1 e ottengo \(\displaystyle 13x+42y+11z=0 \)
Adesso... il generico punto P per poter trovare la distanza con il piano trovato, come lo trovo ? ( presumendo che il ragionamento fatto sia corretto.
ho 2 rette in forma cartesiana :
r : {\(x+3y+z=0 ; x-y = 0 \)
s : { \(3x+9y+3z =0 ; x+3z = 0 \)
Devo calcolare la distanza tra r ed s.
Io ho ragionato nel seguente modo.
Vado a calcolare il rango della matrice e se esso è massimo, vuol dire che le rette sono sghembe e la distanza è quella di un qualsiasi P appartenente ad r passante per s // r.
Faccio l'equazione del fascio passante per s :
\(\displaystyle H*(3x+9y+3z)+K(x-3z) =0 \) \) con H,K diversi da (0,0)
Allora i parametri direttori sono : (\(3H+K), (9H), (3H+3K) \) e faccio il prodotto vettoriale con i parametri direttori della retta s che in questo caso sono \(\ (1,1,-5) \).
(\(3H+K), (9H), (3H+3K) *(1,1,-5) = 3H+K+9H -15H-15K -> -3H-14K \) da cui \(\displaystyle H=-14/3 K \) \)
A questo punto sostituisco nell'equazione del fascio ponendo K=1 e ottengo \(\displaystyle 13x+42y+11z=0 \)
Adesso... il generico punto P per poter trovare la distanza con il piano trovato, come lo trovo ? ( presumendo che il ragionamento fatto sia corretto.
Risposte
Ad essere precisi, devi prima controllare se queste due rette sono incidenti (quindi la distanza è \(\displaystyle0\)), se non lo sono devi trovare una retta ortogonale ad entrambe (che esiste sempre) e...
Non ci sono verifiche da fare. A meno di errori di trascrizione, si vede a prima vista che le due rette passano entrambe per l'origine degli assi...
Ti propongo questo metodo che risulta immediato:
1) Ti trovi il fascio di sostegno la retta r
2) Prendi il piano (pi) che appartiene a questo fascio, che risulta parallelo alla retta s
3) d(r,s) = d(P, (pi)) con P che lo prendi appartenente ad s.
Per il punto 2, se non sai come fare:
Ti calcoli l'equazione del fascio mettendola in ordine. Per ottenere il parallelismo, deve soddisfare la condizione:
al+bm+cn=0
con a,b,c i direttori del piano e l,m,n i direttori della retta s.
Ti ricavi il parametro k del fascio, lo sostituisci nel fascio e ottieni il piano (pi).
Il terzo punto si applica la formula distanza punto-piano.
Spero sia stato chiaro
1) Ti trovi il fascio di sostegno la retta r
2) Prendi il piano (pi) che appartiene a questo fascio, che risulta parallelo alla retta s
3) d(r,s) = d(P, (pi)) con P che lo prendi appartenente ad s.
Per il punto 2, se non sai come fare:
Ti calcoli l'equazione del fascio mettendola in ordine. Per ottenere il parallelismo, deve soddisfare la condizione:
al+bm+cn=0
con a,b,c i direttori del piano e l,m,n i direttori della retta s.
Ti ricavi il parametro k del fascio, lo sostituisci nel fascio e ottieni il piano (pi).
Il terzo punto si applica la formula distanza punto-piano.
Spero sia stato chiaro
Ho provato un metodo che il mio prof ha messo in alcune sue dispense :
in pratica, dalle rette date , mi ritrovo le relative espressioni in forma parametrica ottenendo così :
r :
x= t
y=t
z = -4t
s :
x = -3t
y = 2/3t - 1/3
z = t
A questo punto ho che r è parallela al vettore v1 = ( 1, 1 , -4 ) e s parallela a v2 = ( -3, 2/3, 1 ) e che passano rispettivamente per i punti P1 ( 0,0,0 ) e P2 ( 0,-1/3, 0 )
Adesso :
Sperando che il ragionamento fatto fin'ora sia giusto, mi sono andato a calcolare il determinante di
0 , 1/3 , 0
1 , 1 , -4 = 11/3
-3 , 2/3 , 1
Calcolando ora il prodotto vettoriale tra ( 1, 1 ,-4 ) e ( -3, 2/3, 1 ) ottengo ( -11/3 , -11 , -11/3 ).
Secondo quello che il prof spiega nel procedimento dovrebbe fare : \(\| 11/3 |/ √(11/3)^2+(-11)^2+(-11/3)^2 \)
il che viene una cosa enorme... mentre il risultato è 1/√11
Come faccio ?
in pratica, dalle rette date , mi ritrovo le relative espressioni in forma parametrica ottenendo così :
r :
x= t
y=t
z = -4t
s :
x = -3t
y = 2/3t - 1/3
z = t
A questo punto ho che r è parallela al vettore v1 = ( 1, 1 , -4 ) e s parallela a v2 = ( -3, 2/3, 1 ) e che passano rispettivamente per i punti P1 ( 0,0,0 ) e P2 ( 0,-1/3, 0 )
Adesso :
Sperando che il ragionamento fatto fin'ora sia giusto, mi sono andato a calcolare il determinante di
0 , 1/3 , 0
1 , 1 , -4 = 11/3
-3 , 2/3 , 1
Calcolando ora il prodotto vettoriale tra ( 1, 1 ,-4 ) e ( -3, 2/3, 1 ) ottengo ( -11/3 , -11 , -11/3 ).
Secondo quello che il prof spiega nel procedimento dovrebbe fare : \(\| 11/3 |/ √(11/3)^2+(-11)^2+(-11/3)^2 \)
il che viene una cosa enorme... mentre il risultato è 1/√11
Come faccio ?
Noti che al denominatore c'è il numero \(\displaystyle 11^2\) a fattor comune... e quindi?
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