Curvatura e torsione
Salve a tutti,
sto affrondando un esercizio sulle curve parametrizzate e non riesco a capire bene come affrontare il problema. Di seguito il testo dell'eservizio:
Determinare una curva parametrizzata con l’ascissa curvilinea $s$ tale che la curvatura e la torsione siano date rispettivamente da $k(s) = \frac{1}{1+s^2}$ e $\tau (s) = 0$.
Utilizzare metodi numerici per risolvere il problema.
Io avevo pensato di utilizzare le equazioni di Whewell visto che la torsione è nulla (si integra la curvatura) ma visto che mi viene richiesto l'utilizzo di metodi numerici mi chiedevo se ci fosse qualche altro modo per ottenere la curva parametrizzata.
Ogni suggerimento è ben accetto.
Grazie
sto affrondando un esercizio sulle curve parametrizzate e non riesco a capire bene come affrontare il problema. Di seguito il testo dell'eservizio:
Determinare una curva parametrizzata con l’ascissa curvilinea $s$ tale che la curvatura e la torsione siano date rispettivamente da $k(s) = \frac{1}{1+s^2}$ e $\tau (s) = 0$.
Utilizzare metodi numerici per risolvere il problema.
Io avevo pensato di utilizzare le equazioni di Whewell visto che la torsione è nulla (si integra la curvatura) ma visto che mi viene richiesto l'utilizzo di metodi numerici mi chiedevo se ci fosse qualche altro modo per ottenere la curva parametrizzata.
Ogni suggerimento è ben accetto.
Grazie
Risposte
Se la torsione è nulla allora la curva è piana...
Che si intende per motidi numerici?
Che si intende per motidi numerici?
Che è piana siamo d'accordo infatti c'è un teorema che ti dice (detto brutalmente) che con torsione nulla se hai una certa curvatura se la integri ottieni un angolo $\phi(s)$, con questo angolo puoi trovare una parametrizzazione con ascissa curvilinea di una curva tramite:
$\gamma(s)=(int_{0}^{s}cos(\phi)dt,int_{0}^{s}sin(\phi)dt)$
La domanda sui metodi numerici me la sono posta anche io e l'ho interpretata in questo modo:che visto che mi vengono due integrali osceni li risolvo numericamente tipo con il metodo dei trapezi (http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_del_trapezio)
Spero sia una giusta interpretazione
$\gamma(s)=(int_{0}^{s}cos(\phi)dt,int_{0}^{s}sin(\phi)dt)$
La domanda sui metodi numerici me la sono posta anche io e l'ho interpretata in questo modo:che visto che mi vengono due integrali osceni li risolvo numericamente tipo con il metodo dei trapezi (http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_del_trapezio)
Spero sia una giusta interpretazione
Immagino sia anche possibile fare uso di metodi numerici per la risoluzione di equazioni differenziali. Si parte definendo un punto e una tangente (unitaria) iniziale e si fa evolvere il sistema in base alla formula della curvatura.
EDIT: Cerco di dare qualche dettaglio in più sulla mia idea. Dalla teoria sappiamo che la derivata seconda di una curva parametrizzata con l'ascissa curvilinea è uguale a \(\kappa(s)\,\mathbf{n}\). A questo punto possiamo scrivere la seguente equazione differenziale:
\[ \frac{d}{ds} \begin{pmatrix} x \\ y \\ x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ - \kappa(s)\,y' \\ \kappa(s)\,x' \end{pmatrix}. \]
Si può quindi usare un qualsiasi metodo per la risoluzione di equazioni differenziali per trovare la curva che ci interessa. Ho ovviamente usato solo due coordinate perché (essendo la curva piana) possiamo scegliere qualsiasi piano in cui definirla e ho quindi deciso di prendere il piano \(z = 0\) in modo da semplificare il tutto. È sempre possibile passare ad una nuova curva soluzione del problema con una trasformazione rigida della stessa.
EDIT: Cerco di dare qualche dettaglio in più sulla mia idea. Dalla teoria sappiamo che la derivata seconda di una curva parametrizzata con l'ascissa curvilinea è uguale a \(\kappa(s)\,\mathbf{n}\). A questo punto possiamo scrivere la seguente equazione differenziale:
\[ \frac{d}{ds} \begin{pmatrix} x \\ y \\ x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ - \kappa(s)\,y' \\ \kappa(s)\,x' \end{pmatrix}. \]
Si può quindi usare un qualsiasi metodo per la risoluzione di equazioni differenziali per trovare la curva che ci interessa. Ho ovviamente usato solo due coordinate perché (essendo la curva piana) possiamo scegliere qualsiasi piano in cui definirla e ho quindi deciso di prendere il piano \(z = 0\) in modo da semplificare il tutto. È sempre possibile passare ad una nuova curva soluzione del problema con una trasformazione rigida della stessa.
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