[Matrici e Vettori] Perchè sono ortogonali?

[Gi81]

Abbiamo $A$ matrice simmetrica $n \times n$, $q_1$ vettore $1 times n$ tale che $||q_1||_2=1$ (sia $A$ che $q_1$ sono a valori reali).
Poniamo $alpha_1= q_1^T A q_1 in RR$, $u_2=(A-alpha_1 I)q_1$
Supponendo che $u_2$ sia diverso dal vettor nullo, poniamo $q_2= (u_2)/(||u_2 ||_2)$

Vale $q_1^T u_2= q_1^T(Aq_1 - alpha_1 q_1)= q_1^T A q_1 -alpha q_1^T q_1=0$,
dunque $q_2$ ha norma $1$ ed è ortogonale a $q_1$.


Poniamo $alpha_2=q_2^T A q_2, beta_1= q_1^T A q_2 in RR$, $u_3= (A-alpha_2 I)q_2 -beta_1 q_1$
Supponendo che $u_3$ sia anch'esso diverso dal vettor nullo, poniamo $q_3= (u_3)/(||u_3||)$

Vale $q_1^T u_3 = q_1^T (A q_2 -alpha_2 q_2 -beta_1 q_1)= q_1^T A q_2 -0 -beta_1 *1=0$
e $q_2^T u_3 = q_2^T (A q_2 -alpha_2 q_2 -beta_1 q_1)= q_2^T A q_2 -alpha_2 *1 -beta_1*0=0$,
dunque $q_3$ ha norma $1$ ed è ortogonale sia a $q_1$ che a $q_2$.

Ora viene detto che $A q_3$ è ortogonale a $q_1$. Ma non riesco a capire perchè.
Lo sarebbe banalmente se fosse combinazione lineare di $q_2$ e $q_3$. Ma è vero questo?

[Gi81]

forse ho capito: dobbiamo dimostrare che $q_1^T A q_3=0$
Dato che $A$ è simmetrica, si ha $q_1^T A q_3=q_1^T A^T q_3= (A q_1)^T q_3$

Dato che $1/(||u_2||) q_2= A q_1 -alpha_1 q_1$, si ha che $A q_1$ è combinazione lineare di $q_1$ e $q_2$, entrambi ortogonali a $q_3$