Restrizione prodotto scalare

[daddoloso]

Ciao, avrei bisogno di una guida per risolvere questo esercizio. Non capisco come tirare fuori la matrice della restrizione del prodotto scalare. Allego foto. Esercizio 2C








grazie

[j18eos]

[xdom="j18eos"]Cara\o Daddo8,

come recita il regolamento al punto 3.6:

[...] Il testo di eventuali problemi o esercizi va scritto esplicitamente, senza limitarsi a link o foto o immagini. [...]

Quindi ti invito cortesemente a riscrivere il testo dell'esercizio; magari provando a spiegarci i tentativi che hai provato nel trovare una soluzione.

Grazie della collaborazione.[/xdom]

[Lebesgue]

"Daddo8":Ciao, avrei bisogno di una guida per risolvere questo esercizio. Non capisco come tirare fuori la matrice della restrizione del prodotto scalare. Allego foto. Esercizio 2C

grazie

Ciao! Basta ricordare come definisci la matrice associata ad un prodotto scalare.
Mettiamoci nel caso $3\times 3$: sia quindi $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $3$ la cui base è $\mathcal{B}=\{v_1,v_2,v_3\}$.
Prendiamo in considerazione poi $\varphi$ un prodotto scalare su $V$ la cui matrice associata rispetto la base $\mathcal{B}$ è data da:
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

Ora devi immaginare che alla prima colonna associ il vettore $v_1$, alla seconda colonna il vettore $v_2$ e alla terza colonna il vettore $v_3$.
Stessa cosa con le righe.
Allora il coefficiente $a_{11}$ di posto riga 1 colonna 1, corrisponde al prodotto scalare di $v_1$ e $v_1$, ovvero $a_{11}=\varphi(v_1,v_1)$.

Invece l'elemento $a_{13}$ di posto riga 1 e colonna 3, corrisponde a $\varphi(v_1,v_3)$.
Ricordiamo che la matrice associata ad un prodotto scalare è simmetrica, per cui ad esempio $a_{13}=a_{31}$.

Se tu vuoi la restrizione del tuo prodotto scalare solamente ai vettori (ad esempio) $v_1$ e $v_3$ della base, allora basta prendere la matrice di partenza e "eliminare" la riga e la colonna corrispondenti a $v_2$.
Infatti la matrice del prodotto scalare associata a $v_1,v_3$ sarà una matrice 2x2 della forma:
\begin{pmatrix} \varphi(v_1,v_1) & \varphi(v_1,v_3) \\ \varphi(v_3,v_1) & \varphi(v_3,v_3) \end{pmatrix}

e i prodotti scalari che appaiono li conosci già dalla matrice "grande" di partenza.