Sottospazi riga, colonna e nucleo della matrice identica e di matrici invertibili
Ciao a tutti, ho bisogno di una mano con un esercizio, so che è molto facile ma sono le prime volte che incontro questi argomenti e avrei bisogno di qualche chiarimento, spero possiate aiutarmi.
-Calcolare i sottospazi \(\displaystyle \mathrm{Col}(I_n) \), \(\displaystyle \mathrm{Row}(I_n) \) e \(\displaystyle \mathrm{Ker}(I_n) \). Cosa possiamo dire di questi sottospazi nel caso di una matrice invertibile qualunque?
Allora... Credo di aver capito che \(\displaystyle \mathrm{Ker}(I_n) = \{\left(0_{\mathbb{R}^{n}}\right)\} \) poiché questo è lo spazio delle soluzioni generato dal sistema omogeneo associato alla matrice identica di taglia \(\displaystyle n \), giusto?
Per quanto riguarda il sottopazio colonna e quello riga non saprei cosa c'è da calcolare... Cioè faccio un esempio con \(\displaystyle I_2 \):
\(\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \mathrm{Row}(I_2) = \{\left(1 , 0\right),\left(0 , 1\right)\} \subset \mathbb{R}^{1,2}\)
\(\displaystyle \mathrm{Col}(I_2) = \bigg\{\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\bigg\} \subset \mathbb{R}^{2,1}\)
È corretto scrivere in questo modo?
Come faccio a generalizzare questo risultato per una generica matrice identica di taglia \(\displaystyle n \)? Cioè da un punto di vista notazionale non riesco proprio a capire come scriverlo.
È necessario distinguere il fatto che \(\displaystyle \mathrm{Row}(I_n) \subset \mathbb{R}^{n,1}\) e che \(\displaystyle \mathrm{Col}(I_n) \subset \mathbb{R}^{1,n}\)?
Siate il più pignoli possibile nella correzione, ogni critica è sempre ben accetta.
Ad ogni modo, tornando all'esercizio in se, da questo cosa dovrei capire? Che in questo caso \(\displaystyle \dim(\mathrm{Row}(I_n)) = \dim(\mathrm{Col}(I_n)) = \rho(I_n) = n\) ? Questa proprietà non vale sempre vero? la dimensione del sottospazio colonna potrebbe essere minore se avessimo considerato una generica matrice, poichè potrebbe esserci una colonna nulla, ma comunque la matrice potrebbe avere rango pieno giusto? Mentre se la matrice ha rango pieno questo implica che la dimensione del sottospazio delle righe della matrice sia proprio uguale al rango, è corretto?
Proseguendo con l'esercizio, il punto di incontro diciamo con la matrice inversa mi sembra sia questo:
Se \(\displaystyle A \) è una matrice \(\displaystyle n \times n \), allora \(\displaystyle A \) è invertibile se e solo se \(\displaystyle \rho(A) = n \)
Legando questa proprietà alla precendete relazione posso dire con certezza che se \(\displaystyle A \) è una matrice quadrata di taglia \(\displaystyle n \) invertibile allora \(\displaystyle \dim(\mathrm{Row}(A)) = \dim(\mathrm{Col}(A)) = n\) ??
Mi sento abbastanza confuso, non so se sia ciò che viene chiesto dall'esercizio, anche perché il capitolo sulle dimensioni/basi ecc viene dopo nelle dispense del mio prof... Ci sono altre interessanti proprietà che mi sfuggono? Ho cannato completamente tutto?
Questo post è inutilmente lungo ma spero che ci sia qualcuno disposto ad aiutarmi, vorrei capire al meglio questi concetti che mi sembrano di fondamentale importanza per l'approccio alla materia. Grazie in anticipo a tutti quanti!!!
-Calcolare i sottospazi \(\displaystyle \mathrm{Col}(I_n) \), \(\displaystyle \mathrm{Row}(I_n) \) e \(\displaystyle \mathrm{Ker}(I_n) \). Cosa possiamo dire di questi sottospazi nel caso di una matrice invertibile qualunque?
Allora... Credo di aver capito che \(\displaystyle \mathrm{Ker}(I_n) = \{\left(0_{\mathbb{R}^{n}}\right)\} \) poiché questo è lo spazio delle soluzioni generato dal sistema omogeneo associato alla matrice identica di taglia \(\displaystyle n \), giusto?
Per quanto riguarda il sottopazio colonna e quello riga non saprei cosa c'è da calcolare... Cioè faccio un esempio con \(\displaystyle I_2 \):
\(\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \mathrm{Row}(I_2) = \{\left(1 , 0\right),\left(0 , 1\right)\} \subset \mathbb{R}^{1,2}\)
\(\displaystyle \mathrm{Col}(I_2) = \bigg\{\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}\bigg\} \subset \mathbb{R}^{2,1}\)
È corretto scrivere in questo modo?
Come faccio a generalizzare questo risultato per una generica matrice identica di taglia \(\displaystyle n \)? Cioè da un punto di vista notazionale non riesco proprio a capire come scriverlo.
È necessario distinguere il fatto che \(\displaystyle \mathrm{Row}(I_n) \subset \mathbb{R}^{n,1}\) e che \(\displaystyle \mathrm{Col}(I_n) \subset \mathbb{R}^{1,n}\)?
Siate il più pignoli possibile nella correzione, ogni critica è sempre ben accetta.
Ad ogni modo, tornando all'esercizio in se, da questo cosa dovrei capire? Che in questo caso \(\displaystyle \dim(\mathrm{Row}(I_n)) = \dim(\mathrm{Col}(I_n)) = \rho(I_n) = n\) ? Questa proprietà non vale sempre vero? la dimensione del sottospazio colonna potrebbe essere minore se avessimo considerato una generica matrice, poichè potrebbe esserci una colonna nulla, ma comunque la matrice potrebbe avere rango pieno giusto? Mentre se la matrice ha rango pieno questo implica che la dimensione del sottospazio delle righe della matrice sia proprio uguale al rango, è corretto?
Proseguendo con l'esercizio, il punto di incontro diciamo con la matrice inversa mi sembra sia questo:
Se \(\displaystyle A \) è una matrice \(\displaystyle n \times n \), allora \(\displaystyle A \) è invertibile se e solo se \(\displaystyle \rho(A) = n \)
Legando questa proprietà alla precendete relazione posso dire con certezza che se \(\displaystyle A \) è una matrice quadrata di taglia \(\displaystyle n \) invertibile allora \(\displaystyle \dim(\mathrm{Row}(A)) = \dim(\mathrm{Col}(A)) = n\) ??
Mi sento abbastanza confuso, non so se sia ciò che viene chiesto dall'esercizio, anche perché il capitolo sulle dimensioni/basi ecc viene dopo nelle dispense del mio prof... Ci sono altre interessanti proprietà che mi sfuggono? Ho cannato completamente tutto?
Questo post è inutilmente lungo ma spero che ci sia qualcuno disposto ad aiutarmi, vorrei capire al meglio questi concetti che mi sembrano di fondamentale importanza per l'approccio alla materia. Grazie in anticipo a tutti quanti!!!
Risposte
"LogicalCake":
Questa proprietà non vale sempre ...
Veramente, poiché una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero, le righe (le colonne) sono linearmente indipendenti. Per questo motivo, il sottospazio generato dalle righe (dalle colonne) ha dimensione n. Per quanto riguarda il nucleo, poiché l'unica soluzione del sistema omogeneo associato è il vettore nullo, il nucleo stesso ha dimensione 0. Insomma, le proprietà di cui sopra valgono qualunque sia la matrice invertibile.
Ci sono varie cose che non ti sono chiare mi sembra.
La definizione di rango di una applicazione lineare la conosci, è la dimensione del sottospazio generato dai vettori della sua immagine; questa definizione ne implica una che si scrive in termini della rappresentazione delle applicazioni lineari mediante matrici, cioè si può definire il rango di \(A\in M_{m,n}(K)\) come la dimensione del sottospazio del codominio di $A$ generato dalle colonne di $A$. Osserva che
-1. Il rango di una applicazione lineare ha senso anche per matrici non quadrate, e per la definizione data non può eccedere il numero di colonne della matrice: quindi, una matrice "alta e stretta" deve avere per forza un sacco di righe linearmente indipendenti. Più precisamente, puoi definire un "rango per righe" per mostrare poi che esso è uguale a quello per colonne.
0. Avresti potuto definire il rango di una matrice come il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di $A$, e sarebbe stata la stessa cosa;
1. Dalla definizione segue che ogni applicazione lineare invertibile ha rango massimo (è una caratterizzazione della invertibilità);
2. Questa definizione è ben posta: se cambi la base in cui scrivi $A$ il suo rango non cambia. (Segue dal punto 1).
Ora, venendo alla ciccia del discorso, il fatto che il rango "per colonne", cioè quello definito come sopra, sia uguale al rango "per righe", cioè definito sostituendo la parola colonne con la parola righe, siano uguali, è un teorema.
La maniera più intrinseca di vederlo è usando la dualità di spazi vettoriali: il rango per righe di $A$ è il rango per colonne di $A^t$ (la matrice trasposta di $A$), ossia il rango della applicazione trasposta di \(\varphi\) (cioè dell'applicazione \(\varphi^\lor : W^\lor\to V^\lor\) duale di \(\varphi : V\to W\)); ma la dimensione dell'immagine di \(\varphi^\lor\) è la dimensione dell'ortogonale del nucleo di \(\varphi\), perché questi due sottospazi coincidono praticamente per definizione di \(\varphi^\lor\), e la dimensione del nucleo di \(\varphi\) è \(\dim V - rk(\varphi)\) (formula delle dimensioni), mettendo tutto assieme la dimensione dell'ortogonale di un sottospazio di dimensione \(\dim V - rk(\varphi)\) è esattamente \(\dim V - (\dim V - rk(\varphi)) = rk(\varphi)\).
La definizione di rango di una applicazione lineare la conosci, è la dimensione del sottospazio generato dai vettori della sua immagine; questa definizione ne implica una che si scrive in termini della rappresentazione delle applicazioni lineari mediante matrici, cioè si può definire il rango di \(A\in M_{m,n}(K)\) come la dimensione del sottospazio del codominio di $A$ generato dalle colonne di $A$. Osserva che
-1. Il rango di una applicazione lineare ha senso anche per matrici non quadrate, e per la definizione data non può eccedere il numero di colonne della matrice: quindi, una matrice "alta e stretta" deve avere per forza un sacco di righe linearmente indipendenti. Più precisamente, puoi definire un "rango per righe" per mostrare poi che esso è uguale a quello per colonne.
0. Avresti potuto definire il rango di una matrice come il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di $A$, e sarebbe stata la stessa cosa;
1. Dalla definizione segue che ogni applicazione lineare invertibile ha rango massimo (è una caratterizzazione della invertibilità);
2. Questa definizione è ben posta: se cambi la base in cui scrivi $A$ il suo rango non cambia. (Segue dal punto 1).
Ora, venendo alla ciccia del discorso, il fatto che il rango "per colonne", cioè quello definito come sopra, sia uguale al rango "per righe", cioè definito sostituendo la parola colonne con la parola righe, siano uguali, è un teorema.
La maniera più intrinseca di vederlo è usando la dualità di spazi vettoriali: il rango per righe di $A$ è il rango per colonne di $A^t$ (la matrice trasposta di $A$), ossia il rango della applicazione trasposta di \(\varphi\) (cioè dell'applicazione \(\varphi^\lor : W^\lor\to V^\lor\) duale di \(\varphi : V\to W\)); ma la dimensione dell'immagine di \(\varphi^\lor\) è la dimensione dell'ortogonale del nucleo di \(\varphi\), perché questi due sottospazi coincidono praticamente per definizione di \(\varphi^\lor\), e la dimensione del nucleo di \(\varphi\) è \(\dim V - rk(\varphi)\) (formula delle dimensioni), mettendo tutto assieme la dimensione dell'ortogonale di un sottospazio di dimensione \(\dim V - rk(\varphi)\) è esattamente \(\dim V - (\dim V - rk(\varphi)) = rk(\varphi)\).
"anonymous_0b37e9":
[quote="LogicalCake"]
Questa proprietà non vale sempre ...
Veramente, poiché una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è diverso da zero, le righe (le colonne) sono linearmente indipendenti. Per questo motivo, il sottospazio generato dalle righe (dalle colonne) ha dimensione n. Per quanto riguarda il nucleo, poiché l'unica soluzione del sistema omogeneo associato è il vettore nullo, il nucleo stesso ha dimensione 0. Insomma, le proprietà di cui sopra valgono qualunque sia la matrice invertibile.[/quote]
Ah giusto, pardon, quante cavolate che scrivo... Grazie tante
"megas_archon":
Ci sono varie cose che non ti sono chiare mi sembra.
La definizione di rango di una applicazione lineare la conosci, è la dimensione del sottospazio generato dai vettori della sua immagine; questa definizione ne implica una che si scrive in termini della rappresentazione delle applicazioni lineari mediante matrici, cioè si può definire il rango di \(A\in M_{m,n}(K)\) come la dimensione del sottospazio del codominio di $A$ generato dalle colonne di $A$. Osserva che
-1. Il rango di una applicazione lineare ha senso anche per matrici non quadrate, e per la definizione data non può eccedere il numero di colonne della matrice: quindi, una matrice "alta e stretta" deve avere per forza un sacco di righe linearmente indipendenti. Più precisamente, puoi definire un "rango per righe" per mostrare poi che esso è uguale a quello per colonne.
0. Avresti potuto definire il rango di una matrice come il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di $A$, e sarebbe stata la stessa cosa;
1. Dalla definizione segue che ogni applicazione lineare invertibile ha rango massimo (è una caratterizzazione della invertibilità);
2. Questa definizione è ben posta: se cambi la base in cui scrivi $A$ il suo rango non cambia. (Segue dal punto 1).
Ora, venendo alla ciccia del discorso, il fatto che il rango "per colonne", cioè quello definito come sopra, sia uguale al rango "per righe", cioè definito sostituendo la parola colonne con la parola righe, siano uguali, è un teorema.
La maniera più intrinseca di vederlo è usando la dualità di spazi vettoriali: il rango per righe di $A$ è il rango per colonne di $A^t$ (la matrice trasposta di $A$), ossia il rango della applicazione trasposta di \(\varphi\) (cioè dell'applicazione \(\varphi^\lor : W^\lor\to V^\lor\) duale di \(\varphi : V\to W\)); ma la dimensione dell'immagine di \(\varphi^\lor\) è la dimensione dell'ortogonale del nucleo di \(\varphi\), perché questi due sottospazi coincidono praticamente per definizione di \(\varphi^\lor\), e la dimensione del nucleo di \(\varphi\) è \(\dim V - rk(\varphi)\) (formula delle dimensioni), mettendo tutto assieme la dimensione dell'ortogonale di un sottospazio di dimensione \(\dim V - rk(\varphi)\) è esattamente \(\dim V - (\dim V - rk(\varphi)) = rk(\varphi)\).
Purtroppo ancora devo studiare molto per comprendere ciò che hai cercato di spiegarmi, il mio prof ha proposto questo esercizio molto prima di spiegare le applicazioni lineari, ritornerò su questo post non appena avrò colmato le mie lacune teoriche se non esiste altro modo di spiegare questo concetto... Ad ogni modo grazie tante della risposta, molto precisa ed esaustiva, mi tornerà sicuramente utile
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