Relazioni tra i sottospazi di una matrice e del suo quadrato

[LogicalCake]

Ciao a tutti, mi servirebbe una mano con l'ennesimo esercizio...

Esiste una relazione tra \(\displaystyle \mathrm{Col}(A) \) e \(\displaystyle \mathrm{Col}(A^{2}) \)?
Esiste una relazione tra \(\displaystyle \mathrm{Row}(A) \) e \(\displaystyle \mathrm{Row}(A^{2}) \)?
Esiste una relazione tra \(\displaystyle \mathrm{Ker}(A) \) e \(\displaystyle \mathrm{Ker}(A^{2}) \)?

So che da regolamento dovrei postare un mio tentativo, ma non ho la più pallida idea di ciò che dovrei fare...
Grazie a tutti

[megas_archon]

Sì, esiste in tutti e tre i casi; parti dal nucleo, che è l'esempio piu facile: esiste una matrice 2x2 non nulla il cui quadrato faccia zero? Che cosa implica, questo, in termini della relazione di contenimento tra il suo nucleo e la sua immagine? E quindi in generale chi è più grande tra \(\ker A\) e \(\ker A^2\)?

[LogicalCake]

Ciao grazie della risposta... Una matrice nilpotente di ordine 2 dovrebbe avere questa proprietà, ma purtroppo continuo a non capire... Nelle dispense del mio prof questo esercizio viene molto prima delle applicazioni lineari... Di conseguenza non sono ancora in grado di applicare questo metodo. Ci sono altre vie che posso seguire?

[megas_archon]

Siccome può succedere che \(A^2=0\) senza che \(A=0\), il rango di $A$ si abbassa se ne fai il quadrato. Questo perché l'immagine di $A$ potrebbe benissimo essere contenuta nel suo nucleo.

Questo ansatz ti permette di ragionare in generale: considera due applicazioni lineari \(f : V\to W, g : W \to U\) e componile; qual è il rango di \(g\circ f\) in relazione ai ranghi di $f,g$ separatamente?

questo esercizio viene molto prima delle applicazioni lineari

Questa frase non ha senso, cosa sono le matrici se non rappresentazioni di applicazioni lineari?