Esercizio sul determinante del prodotto di due matrici
Ciao a tutti, avrei bisogno di un aiuto per il seguente esercizio:
Sia \(\displaystyle A \) una matrice \(\displaystyle a \times b \) e \(\displaystyle B \) una matrice \(\displaystyle b \times a \). Dimostrare che, se \(\displaystyle a > b \), allora \(\displaystyle \det(AB)=0 \).
Ho provato a svolgere l'esercizio in questo modo:
Supponiamo per assurdo che \(\displaystyle \det(AB)\neq 0 \). Da questo sappiamo che \(\displaystyle \exists (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\).
Ma ciò non è possibile poiché le matrici di partenza non sono quadrate quindi non invertibili.
Una dimostrazione di questo tipo è adatta e sufficiente per la risoluzione dell'esercizio? Grazie in anticipo per la risposta
Sia \(\displaystyle A \) una matrice \(\displaystyle a \times b \) e \(\displaystyle B \) una matrice \(\displaystyle b \times a \). Dimostrare che, se \(\displaystyle a > b \), allora \(\displaystyle \det(AB)=0 \).
Ho provato a svolgere l'esercizio in questo modo:
Supponiamo per assurdo che \(\displaystyle \det(AB)\neq 0 \). Da questo sappiamo che \(\displaystyle \exists (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\).
Ma ciò non è possibile poiché le matrici di partenza non sono quadrate quindi non invertibili.
Una dimostrazione di questo tipo è adatta e sufficiente per la risoluzione dell'esercizio? Grazie in anticipo per la risposta
Risposte
io direi che il tuo ragionamento non va bene perché quella formula vale se le due matrici di partenza sono invertibili per ipotesi.
io farei così: $dim(\text{ker}(AB)) \ge dim(\text{Ker}(B)) = a - \text{Rk}(B) \ge a-b > 0$. pertanto la matrice prodotto non è invertibile.
io farei così: $dim(\text{ker}(AB)) \ge dim(\text{Ker}(B)) = a - \text{Rk}(B) \ge a-b > 0$. pertanto la matrice prodotto non è invertibile.
Capito, grazie tante
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo