Equazioni matriciali
Ciao a tutti, vorrei avere se possibile un aiuto su un problema che non so come affrontare:
Sia \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \). Risolvere le equazioni matriciali \(\displaystyle AX=0 \) e \(\displaystyle XA=0 \).
Ho provato a risolvere la prima equazione, ossia \(\displaystyle AX=0 \). Ma credo di aver ristretto l'insieme delle soluzioni supponendo che \(\displaystyle X \) sia una matrice in \(\displaystyle \mathbb{R}^{2,2} \). Affinché il prodotto righe per colonne sia definito non dovrei considerare una generica matrice \(\displaystyle X \) in \(\displaystyle \mathbb{R}^{2,n} \) ? Chiedo perché il mio prof ha supposto in automatico che \(\displaystyle X \) fosse quadrata, questa cosa non riesco a spiegarmela...
Insomma, ad ogni modo, preso per vero che \(\displaystyle X \in \mathbb{R}^{2,2} \) sono riuscito a determinare l'insieme delle soluzioni del sistema come le matrici del tipo \(\displaystyle \begin{pmatrix}-t & -s \\ t & s \end{pmatrix} \) dove \(\displaystyle t,s \in \mathbb{R} \).
Ma non avendo capito il motivo per il quale il prof ha fatto quella considerazione non sono riuscito a svolgere in alcun modo il secondo punto...
Grazie a tutti per la lettura spero possiate aiutarmi a capire
Sia \(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \). Risolvere le equazioni matriciali \(\displaystyle AX=0 \) e \(\displaystyle XA=0 \).
Ho provato a risolvere la prima equazione, ossia \(\displaystyle AX=0 \). Ma credo di aver ristretto l'insieme delle soluzioni supponendo che \(\displaystyle X \) sia una matrice in \(\displaystyle \mathbb{R}^{2,2} \). Affinché il prodotto righe per colonne sia definito non dovrei considerare una generica matrice \(\displaystyle X \) in \(\displaystyle \mathbb{R}^{2,n} \) ? Chiedo perché il mio prof ha supposto in automatico che \(\displaystyle X \) fosse quadrata, questa cosa non riesco a spiegarmela...
Insomma, ad ogni modo, preso per vero che \(\displaystyle X \in \mathbb{R}^{2,2} \) sono riuscito a determinare l'insieme delle soluzioni del sistema come le matrici del tipo \(\displaystyle \begin{pmatrix}-t & -s \\ t & s \end{pmatrix} \) dove \(\displaystyle t,s \in \mathbb{R} \).
Ma non avendo capito il motivo per il quale il prof ha fatto quella considerazione non sono riuscito a svolgere in alcun modo il secondo punto...
Grazie a tutti per la lettura spero possiate aiutarmi a capire
Risposte
Se $X$ deve soddisfare sia $AX=0$ e quindi $X \in \mathbb{R}^{2,n}$, sia $XA=0$ e quindi $X \in \mathbb{R}^{n,2}$, necessariamente $n=2$.
Ah che sciocco, ora è chiaro.... Grazie mille! Ad ogni modo non mi è chiaro come risolvere la seconda equazione \(\displaystyle XA = 0 \).
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x_1+2x_2 & x_1+2x_2 \\ x_3+2x_4 & x_3 + 2x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
a questo punto come si procede? Dovrei fare in questo modo?
\(\displaystyle \begin{cases}
x_1+2x_2=0 \\
x_3+2x_4=0
\end{cases} \)
Da cui le soluzioni dell'equazione saranno tutte le matrici del tipo:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}-2x_2 & x_2 \\ -2x_4 & x_4 \end{pmatrix} : x_2,x_4 \in \mathbb{R}\)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
\(\displaystyle \begin{pmatrix}x_1+2x_2 & x_1+2x_2 \\ x_3+2x_4 & x_3 + 2x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
a questo punto come si procede? Dovrei fare in questo modo?
\(\displaystyle \begin{cases}
x_1+2x_2=0 \\
x_3+2x_4=0
\end{cases} \)
Da cui le soluzioni dell'equazione saranno tutte le matrici del tipo:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}-2x_2 & x_2 \\ -2x_4 & x_4 \end{pmatrix} : x_2,x_4 \in \mathbb{R}\)
Sì
Grazie tante dell'aiuto allora!!
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