Matrici nilpotenti
Ciao a tutti rieccomi con l'ennesimo esercizio:
Sia \(\displaystyle A = (a_{ij}) \) una matrice \(\displaystyle n \times n \) tale che gli unici elementi non nulli sono \(\displaystyle a_{12} = a_{23} = ... = a_{n-1\ n} = 1\). Dimostrare che \(\displaystyle A \) è nilpotente.
Allora, sono partito dai casi più semplici e vedo dove arrivo:
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix}0 & a_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) da cui vedo che \(\displaystyle A^2 = 0 \)
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \) \(\displaystyle A^3 = 0 \)
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix}0&a_{12}&0&0&\cdots & 0\\ 0&0& a_{23}&0&\cdots&0\\0&0&0&a_{34}& \cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&0&\cdots&a_{n-1\ n}\end{pmatrix} \rightarrow A^n=0\)
Ma ora come si dimostra formalmente?
Sia \(\displaystyle A = (a_{ij}) \) una matrice \(\displaystyle n \times n \) tale che gli unici elementi non nulli sono \(\displaystyle a_{12} = a_{23} = ... = a_{n-1\ n} = 1\). Dimostrare che \(\displaystyle A \) è nilpotente.
Allora, sono partito dai casi più semplici e vedo dove arrivo:
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix}0 & a_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) da cui vedo che \(\displaystyle A^2 = 0 \)
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \) \(\displaystyle A^3 = 0 \)
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix}0&a_{12}&0&0&\cdots & 0\\ 0&0& a_{23}&0&\cdots&0\\0&0&0&a_{34}& \cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&0&\cdots&a_{n-1\ n}\end{pmatrix} \rightarrow A^n=0\)
Ma ora come si dimostra formalmente?
Risposte
La maniera "ovvia" di ragionare è osservare che i nuclei di un endomorfismo \(f : V\to V\) che è nilpotente sono disposti a bandiera, \[0\subsetneq \ker f \subsetneq \ker f^2 \subsetneq \dots \subsetneq \ker f^i = V\] dve $i$ è l'indice di nilpotenza di $f$, e osservare poi che ogni inclusione è propria (se vale l'uguaglianza a un certo indice, vale da quell'indice in poi). Ora, puoi prendere una base di \(\ker f\), ristretto \(f\) a quel sottospazio chiaramente esso ha matrice nulla; quanti vettori devi aggiungere per completare la base che hai scelto a una base di \(\ker f^2\)? E quanti vettori per completare a una base di \(\ker f^3\)? A un certo punto arrivi a una base di tutto $V$; usa questa base per scrivere $f$ e le sue iterate, ed ecco che -pressoché per costruzione- se $f$ ha matrice con solo uni sopra la diagonale e zeri altrove, $f^2$ li ha "spostati di una diagonale in alto", eccetera.
"megas_archon":
La maniera "ovvia" di ragionare è osservare che i nuclei di un endomorfismo \(f : V\to V\) che è nilpotente sono disposti a bandiera, \[0\subsetneq \ker f \subsetneq \ker f^2 \subsetneq \dots \subsetneq \ker f^i = V\] dve $i$ è l'indice di nilpotenza di $f$, e osservare poi che ogni inclusione è propria (se vale l'uguaglianza a un certo indice, vale da quell'indice in poi). Ora, puoi prendere una base di \(\ker f\), ristretto \(f\) a quel sottospazio chiaramente esso ha matrice nulla; quanti vettori devi aggiungere per completare la base che hai scelto a una base di \(\ker f^2\)? E quanti vettori per completare a una base di \(\ker f^3\)? A un certo punto arrivi a una base di tutto $V$; usa questa base per scrivere $f$ e le sue iterate, ed ecco che -pressoché per costruzione- se $f$ ha matrice con solo uni sopra la diagonale e zeri altrove, $f^2$ li ha "spostati di una diagonale in alto", eccetera.
Ok, ho capito qualcosa, sembra geniale come ragionamento, che curiosa proprietà... Devo capire un paio di cose ancora, ritorno qui non appena ultimo gli argomenti che mi servono... Grazie tante della risposta, come al solito, il vostro aiuto si rivela davvero prezioso !!!
In realtà quello che ho detto (inizia a) risponde(re) alla domanda "come si classifica un endomorfismo nilpotente a meno di similitudine": la risposta è che ogni endomorfismo nilpotente $f$ spezza il suo dominio in una somma diretta di sottospazi con delle basi ristretto $f$ ai quali esso ha per matrice una nilpotente standard.
Mostrare che una matrice nilpotente standard è nilpotente è più semplice: è sufficiente fare il prodotto di matrici per accorgersi che, se la matrice nilpotente standard è definita da \(N_n := \sum_{i=1}^{n-1} \text{e}_i\otimes \text{e}_{i+1}\), allora \(N_n^2 = \sum_{i=1}^{n-2} \text{e}_i\otimes \text{e}_{i+2}\) e in effetti per induzione (discendente su $n$) allora \(N_n^k = \sum_{i=1}^{n-k} \text{e}_i\otimes \text{e}_{i+k}\).
Con \(\text{e}_i \otimes \text{e}_j\) ovviamente intendo la matrice che ha 1 al posto \((i,j)\) e zeri altrove.
Mostrare che una matrice nilpotente standard è nilpotente è più semplice: è sufficiente fare il prodotto di matrici per accorgersi che, se la matrice nilpotente standard è definita da \(N_n := \sum_{i=1}^{n-1} \text{e}_i\otimes \text{e}_{i+1}\), allora \(N_n^2 = \sum_{i=1}^{n-2} \text{e}_i\otimes \text{e}_{i+2}\) e in effetti per induzione (discendente su $n$) allora \(N_n^k = \sum_{i=1}^{n-k} \text{e}_i\otimes \text{e}_{i+k}\).
Con \(\text{e}_i \otimes \text{e}_j\) ovviamente intendo la matrice che ha 1 al posto \((i,j)\) e zeri altrove.
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