Spazio vettoriale delle matrici simmetriche ed emisimmetriche
Ciao a tutti avrei bisogno di una mano con il seguente esercizio:
Provare che l'insieme delle matrici simmetriche \(\displaystyle n \times n \) è uno spazio vettoriale.
In un esercizio precedente sono riuscito a dimostrarlo per matrici di taglia \(\displaystyle 2 \times 2 \). Ora dovrei generalizzare il risultato ottenuto.
Anzitutto, essendo un sottoinsieme dello spazio vettoriale delle matrici quadrate, di taglia \(\displaystyle n \times n \), le operazioni interna ed esterna sono già definite e vanno bene così, e le proprietà necessarie affinché l'insieme sia uno spazio vettoriale sono tutte soddisfatte, quello che mi resta da verificare che è l'insieme \(\displaystyle V=\{A \in \mathbb{R}^{2,2} : A^T = A\} \) sia chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto:
\(\displaystyle \forall A_1,A_2 \in V \Rightarrow (A_1+A_2)^T=(A_1+A_2) \)
\(\displaystyle \forall A \in V, \forall \lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow (\lambda A)^T=\lambda A \)
è esatto il ragionamento finora?
Se scrivo in forma estesa le matrici mi torna facile notare che entrambe le condizioni siano verificate, ma da un punto di vista formale come al solito nascono i problemi hahahaha, qualche suggerimento? Grazie a tutti, come sempre, del prezioso aiuto!
(PS: dovrò svolgere lo stesso esercizio per quanto riguarda le matrici antisimmetriche, ma credo che una volta capito questo non sarà troppo diverso, si spera hahaha).
Cordialmente Cristian
Provare che l'insieme delle matrici simmetriche \(\displaystyle n \times n \) è uno spazio vettoriale.
In un esercizio precedente sono riuscito a dimostrarlo per matrici di taglia \(\displaystyle 2 \times 2 \). Ora dovrei generalizzare il risultato ottenuto.
Anzitutto, essendo un sottoinsieme dello spazio vettoriale delle matrici quadrate, di taglia \(\displaystyle n \times n \), le operazioni interna ed esterna sono già definite e vanno bene così, e le proprietà necessarie affinché l'insieme sia uno spazio vettoriale sono tutte soddisfatte, quello che mi resta da verificare che è l'insieme \(\displaystyle V=\{A \in \mathbb{R}^{2,2} : A^T = A\} \) sia chiuso rispetto alle operazioni di somma e di prodotto:
\(\displaystyle \forall A_1,A_2 \in V \Rightarrow (A_1+A_2)^T=(A_1+A_2) \)
\(\displaystyle \forall A \in V, \forall \lambda \in \mathbb{R} \Rightarrow (\lambda A)^T=\lambda A \)
è esatto il ragionamento finora?
Se scrivo in forma estesa le matrici mi torna facile notare che entrambe le condizioni siano verificate, ma da un punto di vista formale come al solito nascono i problemi hahahaha, qualche suggerimento? Grazie a tutti, come sempre, del prezioso aiuto!
(PS: dovrò svolgere lo stesso esercizio per quanto riguarda le matrici antisimmetriche, ma credo che una volta capito questo non sarà troppo diverso, si spera hahaha).
Cordialmente Cristian
Risposte
Perdonami ma, si tratta di dimostrare la proprietà sottostante:
talmente ovvia:
da non richiedere ulteriori argomentazioni.
P.S.
Vero è che, se vuoi formalizzare l'uguaglianza sottostante:
io, a malincuore, mi vedo costretto a passare la mano. Insomma, lascio ai puristi, dei quali, purtroppo, nutro una profonda ammirazione.
$[A^t=A] ^^ [B^t=B] rarr [(\lambda_A A+\lambda_B B)^t=\lambda_A A+\lambda_B B]$
talmente ovvia:
$(\lambda_A A+\lambda_B B)^t=\lambda_A A^t+\lambda_B B^t=\lambda_A A+\lambda_B B$
da non richiedere ulteriori argomentazioni.
P.S.
Vero è che, se vuoi formalizzare l'uguaglianza sottostante:
$(\lambda_A A+\lambda_B B)^t=\lambda_A A^t+\lambda_B B^t$
io, a malincuore, mi vedo costretto a passare la mano. Insomma, lascio ai puristi, dei quali, purtroppo, nutro una profonda ammirazione.
Scusate la mia poca chiarezza e velocità in questo tipo di esercizi, sono le prime volte che incontro questi argomenti e vorrei capirli al meglio... Il ragionamento che ho comunque fatto è corretto? Non vorrei presentarmi agli esami e scrivere certe idiozie, non so se mi spiego 
Comunque grazie della risposta, credo di aver capito, basta dimostrare queste proprietà delle matrici trasposte quindi:
\(\displaystyle (A+B)^t=A^t+B^t \)
\(\displaystyle (\lambda A)^t=\lambda A^t \)
Comunque grazie della risposta, credo di aver capito, basta dimostrare queste proprietà delle matrici trasposte quindi:
\(\displaystyle (A+B)^t=A^t+B^t \)
\(\displaystyle (\lambda A)^t=\lambda A^t \)
"LogicalCake":
Il ragionamento che ho comunque fatto è corretto?
Al netto della formalizzazione, se intendi la dimostrazione in due passi, prima la somma, poi il prodotto per uno scalare, certamente. Per quanto mi riguarda, ho preferito la dimostrazione in un passo, considerando una generica combinazione lineare.
si in effetti è indubiamente più rapido, grazie della dritta !!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo