Potenze di matrici uguali alla matrice identica
Ciao a tutti, avrei bisogno di aiuto per un esercizio. La traccia è questa:
è possibile trovare una matrice quadrata di taglia qualsiasi, diversa dalla matrice identica, tale che A^2 sia la matrice identica? Ripetere per ogni A^n
Ho provato a risolvere questo esercizio ma non riesco proprio in alcun modo, mi sta facendo impazzire! Spero possiate aiutarmi
è possibile trovare una matrice quadrata di taglia qualsiasi, diversa dalla matrice identica, tale che A^2 sia la matrice identica? Ripetere per ogni A^n
Ho provato a risolvere questo esercizio ma non riesco proprio in alcun modo, mi sta facendo impazzire! Spero possiate aiutarmi
Risposte
Visto che puoi scegliere la matrice di taglia qualsiasi, sceglila di taglia 1. Ora, quante soluzioni ha l'equazione $X^n-1=0$ a parte 1? Dovrebbe esserti chiaro che la risposta dipende dall'anello dove stai cercando la soluzione.
Ciao, grazie della risposta immediata, quindi nel caso in cui la matrice abbia taglia 1 non esiste alcun numero tale per cui il suo quadrato faccia 1 (esclusi +1 -1). Ma l'esercizio chiede proprio di generalizzare il risultato per matrici quadrate di qualsiasi taglia...
Ho provato ancora a fare qualcosa ma non sembra essere affatto utile:
\(\displaystyle A^m=I_n \)
\(\displaystyle AA^{m-1}=I_n \)
\(\displaystyle AA^{m-1}=AA^{-1}\)
\(\displaystyle A^{m-1}=A^{-1} \)
Non so... è la prima volta che mi approccio a questa materia, incredibilmente affascinante ma davvero ostica dal punto di vista notazionale...
Ho provato ancora a fare qualcosa ma non sembra essere affatto utile:
\(\displaystyle A^m=I_n \)
\(\displaystyle AA^{m-1}=I_n \)
\(\displaystyle AA^{m-1}=AA^{-1}\)
\(\displaystyle A^{m-1}=A^{-1} \)
Non so... è la prima volta che mi approccio a questa materia, incredibilmente affascinante ma davvero ostica dal punto di vista notazionale...
Se puoi scegliere i coefficienti complessi non mi sembra difficile, basta usare una radice $n$-esima di $1$ (complessa), come $e^(i 2 pi//n)$.
Invece è più interessante per esempio chiedere che i coefficienti siano interi.
Invece è più interessante per esempio chiedere che i coefficienti siano interi.
Esatto, però chiede nei reali quindi non riesco
Sai cos'è una matrice di rotazione? Parlo di matrici $2xx2$.
l'esercizio chiede proprio di generalizzare il risultato per matrici quadrate di qualsiasi taglia...
E' banale generalizzare a una matrice \(n\times n\), perché puoi ragionare sempre allo stesso modo con delle matrici diagonali che sono multipli dell'identità \(\mathbf 1_n\) (incidentalmente, questo è il centro dell'anello \(M_n(\mathbb K)\)). Stai cercando di capire quante soluzioni diverse da 1 ha l'equazione (in matrici) \(A^n=1\), che se scegli \(A=\alpha\mathbf{1}_n\) come multiplo dell'identità si riduce a risolvere in \(\mathbb K\) l'equazione \(\alpha^n=1\).
"megas_archon":l'esercizio chiede proprio di generalizzare il risultato per matrici quadrate di qualsiasi taglia...
E' banale generalizzare a una matrice \( n\times n \), perché puoi ragionare sempre allo stesso modo con delle matrici diagonali che sono multipli dell'identità \( \mathbf 1_n \) (incidentalmente, questo è il centro dell'anello \( M_n(\mathbb K) \)). Stai cercando di capire quante soluzioni diverse da 1 ha l'equazione (in matrici) \( A^n=1 \), che se scegli \( A=\alpha\mathbf{1}_n \) come multiplo dell'identità si riduce a risolvere in \( \mathbb K \) l'equazione \( \alpha^n=1 \).
Ciao, grazie dell'aiuto, ma perché dovrei pensare esclusivamente a delle matrici diagonali? come faccio ad escludere tutte le altre matrici in \(\displaystyle \mathbb{R}^{n,n} \) ?
"Martino":
Sai cos'è una matrice di rotazione? Parlo di matrici $2xx2$.
\(\displaystyle {R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}} \)
Qualcosa del genere intendi?
"LogicalCake":
perché dovrei pensare esclusivamente a delle matrici diagonali? come faccio ad escludere tutte le altre matrici in \(\displaystyle \mathbb{R}^{n,n} \) ?
Semplicemente perché sono un esempio molto semplice.
Perché insisti a trovarne uno diverso se questo già risponde alla tua domanda? E' come se avessi chiesto "mi fate un controesempio al teorema di Weierstrass?" "La funzione tangente ristretta a \(]-\pi/2,\pi/2[\), ti fa vedere che essere definiti su un dominio compatto è una ipotesi necessaria" "ok, ma perché restringersi a una funzione trigonometrica? Non ci sono altri esempi?"
Certo, ci sono altri esempi, come spesso ci sono diversi modi di rispondere a una domanda.
"LogicalCake":
[quote="Martino"]Sai cos'è una matrice di rotazione? Parlo di matrici $2xx2$.
\(\displaystyle {R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}} \)
Qualcosa del genere intendi?[/quote]
Sì, se la chiami $R_(theta)$ allora $R_(theta)^m=R_(m theta)$. Questo dovrebbe risolvere tutti i tuoi problemi.
Naturalmente questo ha senso se vuoi coefficienti reali. La difficoltà del problema dipende quasi esclusivamente dall'anello dei coefficienti.
Capito, pensavo semplicemente che non fosse una risposta completa al quesito, scusa.
Grazie mille a tutti dell'aiuto
Grazie mille a tutti dell'aiuto
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