Spazio vettoriale delle funzioni differenziabili
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con un esercizio riguardante gli spazi vettoriali di funzioni.
1. Provare che l'insieme di tutte le funzioni differenziabili \(\displaystyle f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R} \) è uno spazio vettoriale reale.
2. Considerando i polinomi di ogni grado, possiamo mostrare che questo spazio vettoriale non è di dimensione finita?
(premetto che è la prima volta che incontro esercizi del genere quindi perdonate la mia incompetenza in merito e siate brutali nella correzione hahaha, ne ho davvero bisogno).
Partirei dal punto 1.
Affinchè una funzione in una variabile sia differenziabile devono valere queste proprietà:
Additività: \(\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b) \)
Omogeneità: \(\displaystyle f(ax) = af(x) \)
Giusto? So che esistono definizioni molto più formali, ma sono uno studente al primo anno di ingegneria, quindi mi devo accontentare di questa per ora (sempre se non ho scritto una cavolata).
Ora, per verificare che questo insieme è un \(\displaystyle \mathbb{R} \)-spazio vettoriale devono essere definite le operazioni di somma e prodotto e devono valere le seguenti proprietà:
Definita la somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f_1}, \mathrm{f_2} \in (0,1) \Rightarrow (\mathrm{f_1} + \mathrm{f_2})(x) = \mathrm{f_1}(x)+\mathrm{f_2}(x)\)
- proprietà commutativa: \(\displaystyle \forall \mathrm{f_1} , \mathrm{f_2} \in (0,1) \Rightarrow \mathrm{f_1} + \mathrm{f_2} = \mathrm{f_2} + \mathrm{f_1}\)
- proprietà associativa della somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f_1} , \mathrm{f_2}, \mathrm{f_3} \in (0,1) \Rightarrow (\mathrm{f_1} + \mathrm{f_2}) + \mathrm{f_3} = \mathrm{f_1} + (\mathrm{f_2} + \mathrm{f_3})\)
- esistenza dell'elemento neutro per la somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1), \exists 0_V : \mathrm{f} + 0_V = \mathrm{f} \)
- esistenza dell'elemento opposto per la somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1), \exists -\mathrm{f} : \mathrm{f} + (-\mathrm{f}) = \mathrm{f} - \mathrm{f} = 0_V \)
(Si potrebbe anche dire, in sintesi, che questo insieme costituisce un gruppo abeliano per la somma?)
Definito il prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1), \forall a \in \mathbb{R} \Rightarrow (a\mathrm{f})(x) = a\mathrm{f}(x) \)
- proprietà associativa rispetto al prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1) , \forall a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow a(b\mathrm{f}) = ab(\mathrm{f}) \)
- esistenza dell'elemento neutro per il prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1) , \exists 1 \in \mathbb{R} : 1\mathrm{f} = \mathrm{f} \)
- proprietà distributiva a dx del prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall a \in \mathbb{R} , \forall \mathrm{f_1},\mathrm{f_2} \in (0,1) \Rightarrow a(\mathrm{f_1} + \mathrm{f_2}) = a\mathrm{f_1} + a\mathrm{f_2}\)
- proprietà distributiva a sx del prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall a,b \in \mathbb{R} , \forall \mathrm{f} \in (0,1) \Rightarrow (a+b)\mathrm{f} = a\mathrm{f} + b\mathrm{f}\)
Le proprietà che dovrei verificare sono queste, è esatto? Ma ora come si procede? Non capisco...
Vale in generale la seguente proprietà?
Sia \(\displaystyle V \) uno spazio vettoriale e sia \(\displaystyle A \) un qualunque insieme non vuoto. Allora, l'insieme di tutte le funzioni \(\displaystyle f:A\rightarrow V \), con le operazioni di somma e prodotto per scalare, è uno spazio vettoriale.
Se questa proprietà vale non sarebbe sufficiente dimostrare questa piuttosto che il caso specifico? Come potrebbe essere dimostrata?
Ma una domanda, in questo caso, l'elemento neutro per la somma, non sarebbe la funzione \(\displaystyle \mathrm{f}(x)=0 \)?
Ma in questo caso appartiene all'insieme? Non sto capendo proprio, spero possiate aiutarmi, grazie tante della disponibilità...
Cordialmente Cristian
1. Provare che l'insieme di tutte le funzioni differenziabili \(\displaystyle f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R} \) è uno spazio vettoriale reale.
2. Considerando i polinomi di ogni grado, possiamo mostrare che questo spazio vettoriale non è di dimensione finita?
(premetto che è la prima volta che incontro esercizi del genere quindi perdonate la mia incompetenza in merito e siate brutali nella correzione hahaha, ne ho davvero bisogno).
Partirei dal punto 1.
Affinchè una funzione in una variabile sia differenziabile devono valere queste proprietà:
Additività: \(\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b) \)
Omogeneità: \(\displaystyle f(ax) = af(x) \)
Giusto? So che esistono definizioni molto più formali, ma sono uno studente al primo anno di ingegneria, quindi mi devo accontentare di questa per ora (sempre se non ho scritto una cavolata).
Ora, per verificare che questo insieme è un \(\displaystyle \mathbb{R} \)-spazio vettoriale devono essere definite le operazioni di somma e prodotto e devono valere le seguenti proprietà:
Definita la somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f_1}, \mathrm{f_2} \in (0,1) \Rightarrow (\mathrm{f_1} + \mathrm{f_2})(x) = \mathrm{f_1}(x)+\mathrm{f_2}(x)\)
- proprietà commutativa: \(\displaystyle \forall \mathrm{f_1} , \mathrm{f_2} \in (0,1) \Rightarrow \mathrm{f_1} + \mathrm{f_2} = \mathrm{f_2} + \mathrm{f_1}\)
- proprietà associativa della somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f_1} , \mathrm{f_2}, \mathrm{f_3} \in (0,1) \Rightarrow (\mathrm{f_1} + \mathrm{f_2}) + \mathrm{f_3} = \mathrm{f_1} + (\mathrm{f_2} + \mathrm{f_3})\)
- esistenza dell'elemento neutro per la somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1), \exists 0_V : \mathrm{f} + 0_V = \mathrm{f} \)
- esistenza dell'elemento opposto per la somma: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1), \exists -\mathrm{f} : \mathrm{f} + (-\mathrm{f}) = \mathrm{f} - \mathrm{f} = 0_V \)
(Si potrebbe anche dire, in sintesi, che questo insieme costituisce un gruppo abeliano per la somma?)
Definito il prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1), \forall a \in \mathbb{R} \Rightarrow (a\mathrm{f})(x) = a\mathrm{f}(x) \)
- proprietà associativa rispetto al prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1) , \forall a,b \in \mathbb{R} \Rightarrow a(b\mathrm{f}) = ab(\mathrm{f}) \)
- esistenza dell'elemento neutro per il prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall \mathrm{f} \in (0,1) , \exists 1 \in \mathbb{R} : 1\mathrm{f} = \mathrm{f} \)
- proprietà distributiva a dx del prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall a \in \mathbb{R} , \forall \mathrm{f_1},\mathrm{f_2} \in (0,1) \Rightarrow a(\mathrm{f_1} + \mathrm{f_2}) = a\mathrm{f_1} + a\mathrm{f_2}\)
- proprietà distributiva a sx del prodotto per scalare: \(\displaystyle \forall a,b \in \mathbb{R} , \forall \mathrm{f} \in (0,1) \Rightarrow (a+b)\mathrm{f} = a\mathrm{f} + b\mathrm{f}\)
Le proprietà che dovrei verificare sono queste, è esatto? Ma ora come si procede? Non capisco...
Vale in generale la seguente proprietà?
Sia \(\displaystyle V \) uno spazio vettoriale e sia \(\displaystyle A \) un qualunque insieme non vuoto. Allora, l'insieme di tutte le funzioni \(\displaystyle f:A\rightarrow V \), con le operazioni di somma e prodotto per scalare, è uno spazio vettoriale.
Se questa proprietà vale non sarebbe sufficiente dimostrare questa piuttosto che il caso specifico? Come potrebbe essere dimostrata?
Ma una domanda, in questo caso, l'elemento neutro per la somma, non sarebbe la funzione \(\displaystyle \mathrm{f}(x)=0 \)?
Ma in questo caso appartiene all'insieme? Non sto capendo proprio, spero possiate aiutarmi, grazie tante della disponibilità...
Cordialmente Cristian
Risposte
Quello che scrivi non è sbagliato, il problema maggiore è che è un'insalata di simboli che hai copincollato dalla definizione che ti è stata data.
Questo genere di esercizi (verifica che questo insieme {è/non è} uno spazio vettoriale) si fanno tutti allo stesso modo, provando/confutando gli assiomi che definiscono la struttura, uno ad uno.
Uno spazio vettoriale è anzitutto un insieme: per te l'insieme è quello delle funzioni di dominio $A$ e codominio $V$.
Uno spazio vettoriale poi è dotato di una operazione binaria di somma, e nel tuo caso l'operazione prende due funzioni $f,g : A \to V$ e definisce una funzione \(f+g : A\to V\) che manda $a\in A$ nell'elemento \(f(a) +_V g(a)\), dove \(+_V\) è l'operazione di somma in $V$ (per definizione, \(f(a), g(a)\) sono entrambi vettori di $V$, e la struttura di $V$ ti permette di sommarli; puoi benissimo fare questa considerazione quando \(V=\mathbb R\) e l'operazione è la somma di numeri reali).
Similmente, puoi definire una operazione di "moltiplicazione per uno scalare" (in questo caso, reale, e se \(V=\mathbb R\) la moltiplicazione per scalare è precisamente il prodotto di numeri reali), prendendo una funzione \(f : A\to V\) e "espandendola" di un fattore \(\alpha\in \mathbb R\) definendo \(\alpha.f : A \to V\) mandando \(a\in A\) nel vettore \(\alpha \cdot f(a)\) (analogamente a prima, \(f(a)\) è un vettore di $V$, e in $V$ puoi moltiplicare per lo scalare $\alpha$).
Le operazioni definite a questa maniera si dicono "pointwise" ("puntuali", "definite puntualmente", "definite punto per punto"... la nomenclatura abbonda invece di deficere) e a questo punto, con queste definizioni, puoi verificare uno ad uno gli assiomi di spazio vettoriale che conosci (ma che apparentemente, devono ancora entrarti nel midollo).
Questo genere di esercizi (verifica che questo insieme {è/non è} uno spazio vettoriale) si fanno tutti allo stesso modo, provando/confutando gli assiomi che definiscono la struttura, uno ad uno.
Uno spazio vettoriale è anzitutto un insieme: per te l'insieme è quello delle funzioni di dominio $A$ e codominio $V$.
Uno spazio vettoriale poi è dotato di una operazione binaria di somma, e nel tuo caso l'operazione prende due funzioni $f,g : A \to V$ e definisce una funzione \(f+g : A\to V\) che manda $a\in A$ nell'elemento \(f(a) +_V g(a)\), dove \(+_V\) è l'operazione di somma in $V$ (per definizione, \(f(a), g(a)\) sono entrambi vettori di $V$, e la struttura di $V$ ti permette di sommarli; puoi benissimo fare questa considerazione quando \(V=\mathbb R\) e l'operazione è la somma di numeri reali).
Similmente, puoi definire una operazione di "moltiplicazione per uno scalare" (in questo caso, reale, e se \(V=\mathbb R\) la moltiplicazione per scalare è precisamente il prodotto di numeri reali), prendendo una funzione \(f : A\to V\) e "espandendola" di un fattore \(\alpha\in \mathbb R\) definendo \(\alpha.f : A \to V\) mandando \(a\in A\) nel vettore \(\alpha \cdot f(a)\) (analogamente a prima, \(f(a)\) è un vettore di $V$, e in $V$ puoi moltiplicare per lo scalare $\alpha$).
Le operazioni definite a questa maniera si dicono "pointwise" ("puntuali", "definite puntualmente", "definite punto per punto"... la nomenclatura abbonda invece di deficere) e a questo punto, con queste definizioni, puoi verificare uno ad uno gli assiomi di spazio vettoriale che conosci (ma che apparentemente, devono ancora entrarti nel midollo).
Quello che hai scritto mi sembra abbastanza chiaro, ma propriamente l'esercizio ancora non lo so risolvere... Esattamente come dovrei fare? Non ho mai risolto prima d'ora questa tipologia di esercizi...
Comunque grazie tante della risposta
Comunque grazie tante della risposta
"LogicalCake":
Affinchè una funzione in una variabile sia differenziabile devono valere queste proprietà:
Additività: \(\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b) \)
Omogeneità: \(\displaystyle f(ax) = af(x) \)
Giusto?
Quindi $f(x)=x^2$ non è differenziabile? Forse sto fraintendendo.
Ah, ecco, immaginavo fosse questo il grande errore che avevo fatto, sapreste aiutarmi a dare una definizione di funzione differenziabile allora? Online trovo soltanto definizioni che prendono in esame funzioni in più variabili... Nel caso di una sola variabile significa che la funzione deve essere derivabile?
In sostanza quello che mi sta dicendo il problema è che le funzioni che devo considerare in (0,1) sono continue e derivabili, è esatto?
In sostanza quello che mi sta dicendo il problema è che le funzioni che devo considerare in (0,1) sono continue e derivabili, è esatto?
Si, in una variabile differenziabile e derivabile coincidono come concetti.
"ghira":
[quote="LogicalCake"]
Affinchè una funzione in una variabile sia differenziabile devono valere queste proprietà:
Additività: \(\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b) \)
Omogeneità: \(\displaystyle f(ax) = af(x) \)
Giusto?
Quindi $f(x)=x^2$ non è differenziabile? Forse sto fraintendendo.[/quote]
Ah ovviamente quello è sbagliato e manco lo avevo visto! Miracoli che fa il non leggere.
Il problema di questo esercizio è che uno non sa cosa scrivere. Ma bisogna imparare a sbrogliarsi pure in questi casi. Le proprietà di linearità della derivata sono tutto quello che serve per il punto 1, e con un po' di esperienza si può rispondere in una o due righe.
Io per esempio scriverei così. Domanda: "l'insieme delle funzioni derivabili è uno spazio vettoriale?" Risposta: "si, perché abbiamo imparato in analisi che le combinazioni lineari di funzioni derivabili sono funzioni derivabili". Fatto, in una riga, il correttore o la correttrice dell'esercizio ti ringrazierà.
Ma per il punto 2, che contiene un po' di informazioni algebriche in più, cosa rispondi? Quello spazio lì è uno spazio vettoriale? E di che dimensione? Questo è un esempio importante.
Io per esempio scriverei così. Domanda: "l'insieme delle funzioni derivabili è uno spazio vettoriale?" Risposta: "si, perché abbiamo imparato in analisi che le combinazioni lineari di funzioni derivabili sono funzioni derivabili". Fatto, in una riga, il correttore o la correttrice dell'esercizio ti ringrazierà.
Ma per il punto 2, che contiene un po' di informazioni algebriche in più, cosa rispondi? Quello spazio lì è uno spazio vettoriale? E di che dimensione? Questo è un esempio importante.
Avevo trovato quella specie di definizione online, spero di aver capito male io ma non mi sembra proprio... Ad ogni modo, a questo punto, definite puntalmente le operazioni di somma e prodotto per scalare dovrei dimostrare una ad una tutte le proprietà che ho elencato per risolvere l'esercizio?
"dissonance":
Il problema di questo esercizio è che uno non sa cosa scrivere. Ma bisogna imparare a sbrogliarsi pure in questi casi. Le proprietà di linearità della derivata sono tutto quello che serve per il punto 1, e con un po' di esperienza si può rispondere in una o due righe.
Io per esempio scriverei così. Domanda: "l'insieme delle funzioni derivabili è uno spazio vettoriale?" Risposta: "si, perché abbiamo imparato in analisi che le combinazioni lineari di funzioni derivabili sono funzioni derivabili". Fatto, in una riga, il correttore o la correttrice dell'esercizio ti ringrazierà.
Ma per il punto 2, che contiene un po' di informazioni algebriche in più, cosa rispondi? Quello spazio lì è uno spazio vettoriale? E di che dimensione? Questo è un esempio importante.
Ah beh, detta così mi sembra fin troppo facile hahaha, anche io so che è così, ma non penso sia sufficiente come risposta...
Il punto 2 ora provo
"dissonance":
Ma per il punto 2, che contiene un po' di informazioni algebriche in più, cosa rispondi?
Il punto 2 non ci chiede di dimostrare nulla. Ci chiede se possiamo fare (cosa). Andrebbe bene solo "Sì" come risposta? Immagino di no.
non penso sia sufficiente come risposta...Questo è il (un?) problema dell'educazione indiretta scolastica: la risposta facile "non vale" perché non hai fatto fatica, non hai espiato. E' una cosa molto cattolica se ci pensi.
"megas_archon":non penso sia sufficiente come risposta...Questo è il (un?) problema dell'educazione indiretta scolastica: la risposta facile "non vale" perché non hai fatto fatica, non hai espiato. E' una cosa molto cattolica se ci pensi.
Banalmente credo di non aver imparato nulla da questo tipo di risposta, non ho dimostrato un bel niente e non ho imparato nulla di nuovo... Queste sono mie impressioni personali ovviamente, sono molto più giovane di voi e di conseguenza ho molta meno esperienza...
Non è vero, hai imparato che ti è già stato dimostrato che l'insieme delle funzioni differenziabili è uno spazio vettoriale: in analisi. Adesso puoi usare questa conoscenza senza dover perdere tempo a riscoprirla perché "adesso stai facendo un altro esame". Il motivo per cui acquisisci queste competenze è allargare man mano il numero di domande a cui puoi rispondere con "E' evidente che la risposta è {booleano}, perché {ragione banalissima}".
Per quanto riguarda il punto 2.
Considero lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado al più \(\displaystyle n \).
Gli elementi di questo spazio saranno della forma:
\(\displaystyle p(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n = \sum_{i=0}^n a_ix^i\)
Una base di questo spazio vettoriale potrebbe essere questa:
\(\displaystyle \mathcal{B} = \{1,x,x^2,x^3,...,x^n\}\)
Poiché è facile notare che le combinazioni lineari degli elementi di \(\displaystyle \mathcal{B}\) possano generare qualsiasi polinomio in \(\displaystyle \mathbb{R}_n[x] \) (è questa la base canonica di questo spazio vettoriale?). Siccome la cardinalità di \(\displaystyle \mathcal{B}\) è \(\displaystyle n+1 \) anche la dimensione di questo spazio vettoriale sarà \(\displaystyle n+1 \)
Considero lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado al più \(\displaystyle n \).
Gli elementi di questo spazio saranno della forma:
\(\displaystyle p(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n = \sum_{i=0}^n a_ix^i\)
Una base di questo spazio vettoriale potrebbe essere questa:
\(\displaystyle \mathcal{B} = \{1,x,x^2,x^3,...,x^n\}\)
Poiché è facile notare che le combinazioni lineari degli elementi di \(\displaystyle \mathcal{B}\) possano generare qualsiasi polinomio in \(\displaystyle \mathbb{R}_n[x] \) (è questa la base canonica di questo spazio vettoriale?). Siccome la cardinalità di \(\displaystyle \mathcal{B}\) è \(\displaystyle n+1 \) anche la dimensione di questo spazio vettoriale sarà \(\displaystyle n+1 \)
"megas_archon":
Non è vero, hai imparato che ti è già stato dimostrato che l'insieme delle funzioni differenziabili è uno spazio vettoriale: in analisi. Adesso puoi usare questa conoscenza senza dover perdere tempo a riscoprirla perché "adesso stai facendo un altro esame". Il motivo per cui acquisisci queste competenze è allargare man mano il numero di domande a cui puoi rispondere con "E' evidente che la risposta è {booleano}, perché {ragione banalissima}".
Beh in effetti credo che tu abbia ragione, non avrebbe senso dimostrare tutto da capo in questo caso... Mi ero impuntato perché sono davvero le prime volte che incontro questi concetti, e se mi si dovesse presentare un problema simile ma con ipotesi diverse, non sarei in grado di risolverlo così facilmente con un approccio di tipo algebrico. Cercavo per lo più di capire come dovrei comportarmi con un generico esercizio riguardante gli spazi vettoriali di funzioni, ma avrei dovuto specificarlo dal principio... Ad ogni modo grazie tante della risposta, perché non la avevo neanche considerata. Adoro questo forum, mi state aiutando davvero molto, grazie a tutti
"LogicalCake":La domanda era proprio "ok, questo è vero e lo sappiamo; ma cosa succede senza porre alcun limite al grado dei polinomi?"
Per quanto riguarda il punto 2.
Considero lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado al più \(\displaystyle n \).
Gli elementi di questo spazio saranno della forma:
\(\displaystyle p(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3+...+a_nx^n = \sum_{i=0}^n a_ix^i\)
Una base di questo spazio vettoriale potrebbe essere questa:
\(\displaystyle \mathcal{B} = \{1,x,x^2,x^3,...,x^n\}\)
Poiché è facile notare che le combinazioni lineari degli elementi di \(\displaystyle \mathcal{B}\) possano generare qualsiasi polinomio in \(\displaystyle \mathbb{R}_n[x] \) (è questa la base canonica di questo spazio vettoriale?). Siccome la cardinalità di \(\displaystyle \mathcal{B}\) è \(\displaystyle n+1 \) anche la dimensione di questo spazio vettoriale sarà \(\displaystyle n+1 \)
Questo genere di domanda va affrontata contro-nominalmente: "è chiaro" che la dimensione dello spazio di tutti i polinomi a coefficienti reali è infinita, e ora devi dimostrarlo.
Per assurdo, supponiamo che \(d < \infty\) sia la dimensione di \(\mathbb R[X]\); problema: se questo è vero, deve essere possibile scrivere il polinomio \(X^{d+1}\) come combinazione lineare di polinomi di grado al più $d$. Del resto, cosa c'è di assurdo nello scrivere che
\[X^{d+1} = a_0 + a_1X+\dots + a_d X^d?\]
Sinceramente non ne ho idea
E' possibile che due polinomi siano uguali, ma uno di grado $d$ e l'altro di grado $d+1$?
Ah giusto, quindi è dimostrato per assurdo... Ma perché il mio approccio non era adatto? Non era chiaro che per \(\displaystyle n \rightarrow \infty \) la cardinalità della base e di conseguenza la dimensione fossero \(\displaystyle \infty \)?
È chiaro in linguaggio naturale, ma la ragione per cui qualcosa è evidente non è una dimostrazione.
Cosa significa "per n che tende a infinito" quando n+1 è la dimensione di uno spazio vettoriale?
Cosa significa "per n che tende a infinito" quando n+1 è la dimensione di uno spazio vettoriale?
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