Da connesso a sconnesso
Rifacendomi ad una discussione nata in un altro post... Chiedo a chi lo sa, perché io purtroppo non ho trovato nulla, stranamente neanche nel mio libro di topologia.
Sia $X$ uno spazio topologico connesso di dimensione $n$. Quale ipotesi deve soddisfare il sottospazio $Y \subset X$ affinché $X\\Y$ sia sconnesso.
Nel caso di $X=\mathbb{R}^{n}$ penso basti che $Y$ abbia dimensione $n-1$, nel caso generale non lo so.
Sia $X$ uno spazio topologico connesso di dimensione $n$. Quale ipotesi deve soddisfare il sottospazio $Y \subset X$ affinché $X\\Y$ sia sconnesso.
Nel caso di $X=\mathbb{R}^{n}$ penso basti che $Y$ abbia dimensione $n-1$, nel caso generale non lo so.
Risposte
Come definisci la dimensione di un sottospazio quando non è una varietà?
Onestamente non saprei, sono ormai parecchi anni che non tocco un libro di topologia e quando l' ho fatta all' università abbiamo studiato solo varietà topologiche. Immagino che si definisca con le basi analogamente agli spazi vettoriali.
No, per uno spazio topologico a caso non esiste niente di analogo, perlomeno non definito in maniera così ingenua... Questo è proprio il punto che cercavo di fare nell'altro 3d
Queste sono questioni un po' complicate, qualcosa è noto ma non so se la soluzione completa.
Dovrei andare a rivedermi alcune cose, magari nei prossimi giorni vi aggiorno, comunque la dimensione per uno spazio topologico con certe proprietà si può definire in vari modi, di cui la principale è questa, ma tanto in questo contesto sarebbero tutte equivalenti.
Intanto dico che quel tipo di ragionamenti come: se tolgo un sottospazio di codimensione maggiore $1$ non sconnetto lo spazio, codimensione maggiore di $2$ lo non sconnetto semplicemente, ecc. non funziona sempre, ci sono controesempi per la seconda che ho detto ma non so se anche per la prima, quello potrebbe essere anche vero.
Dovrei andare a rivedermi alcune cose, magari nei prossimi giorni vi aggiorno, comunque la dimensione per uno spazio topologico con certe proprietà si può definire in vari modi, di cui la principale è questa, ma tanto in questo contesto sarebbero tutte equivalenti.
Intanto dico che quel tipo di ragionamenti come: se tolgo un sottospazio di codimensione maggiore $1$ non sconnetto lo spazio, codimensione maggiore di $2$ lo non sconnetto semplicemente, ecc. non funziona sempre, ci sono controesempi per la seconda che ho detto ma non so se anche per la prima, quello potrebbe essere anche vero.
È una domanda potenzialmente difficile, specialmente a questo livello di generalità. Se poi neanche sappiamo definire la dimensione... 
In un contesto di teoria geometrica della misura, dove c'è la nozione di "dimensione di Hausdorff", si può vedere qui: https://math.stackexchange.com/q/2730111/8157
È un argomento a cui mi sono interessato qualche anno fa, ma non mi ricordo assolutamente più nulla.
In un contesto di teoria geometrica della misura, dove c'è la nozione di "dimensione di Hausdorff", si può vedere qui: https://math.stackexchange.com/q/2730111/8157
È un argomento a cui mi sono interessato qualche anno fa, ma non mi ricordo assolutamente più nulla.
La dimensione di Hausdorff è un'altra cosa, non c'entra, no?
Il problema si può iniziare a formalizzare così: prendi un insieme bene ordinato $S$ (ad esempio, un ordinale \(\lambda\)) e supponiamo che esista una nozione di dimensione \(d : {\sf Top} \to \lambda\); prendi uno spazio topologico connesso \(X\) e cerca il sottospazio \(Y\subseteq X\) di "dimensione" minima tale che l'inclusione \(i_{Y^c} : X\setminus Y \to X\) non induca un iso sul \(\pi_0\). Cioè, cerca l'inf dell'insieme
\[\{dY\mid Y\subseteq X, \, |\pi_0(X\setminus Y)| \ne 1 \}\] che non è vuoto perché ad esempio contiene $X$ (il vuoto ha zero componenti connesse).
Ci sono tuttavia diversi problemi:
- questa definizione dipende da $d$;
- non è chiaro come calcolare questo inf;
- quando $X$ è uno spazio topologico timorato di Dio tutto bene, ma cosa succede quando è patologico?
- il problema non è solo qual è la cardinalità/dimensione minima di un sottospazio che va tolto ad $X$ per sconnetterlo (idea che questa definizione tenta di formalizzare), ma anche come questo sottospazio viene tolto. Spazi patopologici famosi tipo il seno del topologo o l'orecchino Hawaiiano si disconnettono o meno a seconda di dove togli il punto, e in effetti lo stesso succede per un wedge di sfere o di spazi puntati...
Il problema si può iniziare a formalizzare così: prendi un insieme bene ordinato $S$ (ad esempio, un ordinale \(\lambda\)) e supponiamo che esista una nozione di dimensione \(d : {\sf Top} \to \lambda\); prendi uno spazio topologico connesso \(X\) e cerca il sottospazio \(Y\subseteq X\) di "dimensione" minima tale che l'inclusione \(i_{Y^c} : X\setminus Y \to X\) non induca un iso sul \(\pi_0\). Cioè, cerca l'inf dell'insieme
\[\{dY\mid Y\subseteq X, \, |\pi_0(X\setminus Y)| \ne 1 \}\] che non è vuoto perché ad esempio contiene $X$ (il vuoto ha zero componenti connesse).
Ci sono tuttavia diversi problemi:
- questa definizione dipende da $d$;
- non è chiaro come calcolare questo inf;
- quando $X$ è uno spazio topologico timorato di Dio tutto bene, ma cosa succede quando è patologico?
- il problema non è solo qual è la cardinalità/dimensione minima di un sottospazio che va tolto ad $X$ per sconnetterlo (idea che questa definizione tenta di formalizzare), ma anche come questo sottospazio viene tolto. Spazi patopologici famosi tipo il seno del topologo o l'orecchino Hawaiiano si disconnettono o meno a seconda di dove togli il punto, e in effetti lo stesso succede per un wedge di sfere o di spazi puntati...
"megas_archon":
spazio topologico timorato di Dio
Dammi la definizione di spazio topologico timorato di Dio
La categoria di tutti gli spazi topologici è un oggetto orrendo che non vuoi toccare nemmeno con un bastone intinto nel curaro:
- non è cartesiana chiusa, vedi anche il secondo tomo dell'Handbook of Categorical Algebra di Borceux, la proposizione 7.1.2.
- Non è presentabile per nessun cardinale \(\alpha\), e i suoi oggetti \(\alpha\)-presentabili non sono gli spazi \(\alpha\)-compatti (questo è un noto problema che venne fuori nel libro di Hovey sulle categorie modello; povero Hovey)
- contrariamente al famoso principio del micro- e macrocosmo, la categoria degli spazi topologici non è un topos, cioè non si può vedere come un gros topos nel senso di Grothendieck.
- Legato a questo problema c'è il fatto vari tentativi di riformulare la topologia generale mediante degli strumenti più algebrici sono destinati a catturare solo alcuni spazi topologici; uno può confondere lo spazio topologico $X$ con il frame dei suoi aperti, ma perde delle informazioni e riesce a studiare solo spazi sobri.
- Il topologo quadratico medio vuole studiare oggetti non patologici, perché più della eccezione statistica gli interessa la tassonomia dei casi "concreti": però se non stai attento a definire bene cosa è uno spazio ti ritrovi tutti quei famosi spazi che sono connessi ma non per archi, spazi che non ammettono un rivestimento universale, e come conseguenza spazi il cui gruppo fondamentale è molto complicato da studiare (per esempio, può succedere che sia un gruppo profinito), oppure -in topologia differenziale- varietà che hanno una struttura autosimile, come certi frattali, la sfera cornuta di Alexander, o capi di bestiario simili. Gli invarianti che di solito uno sa calcolare, per questi oggetti si rompono.
Il primo problema è piu profondo di quanto uno possa pensare all'inizio: se \(\sf Top\) ha una struttura semicartesiana è proprio ciò che immediatamente precede Borceux II.7.1.2 a dimostrare che quella struttura è in realtà cartesiana, quindi il problema è proprio che c'è "troppa roba" in \(\sf Top\) per garantire che i suoi oggetti siano tutti esponenziabili. Il secondo problema è pure piuttosto profondo, perché ti dice che gli spazi topologici sono abbastanza, e abbastanza "grandi" da non poter essere approssimati da nessuna sotto-collezione piccola di oggetti. E' un po' l'analogo degli spazi vettoriali a dimensione infinita: nessun insieme finito di vettori genererà mai tutto lo spazio. Qui è la stessa cosa, solo che il problema è che nessun insieme genererà mai tutta \(\sf Top\). Il terzo problema è al cuore di quella che si chiama "topologia senza punti", o pointfree topology, che ti invito a googlare.
Nel corso del tempo sono state proposte diverse soluzioni al problema, adattate caso per caso alla necessità; sottocategorie famose di \(\sf Top\), come gli spazi compattamente generati, oppure i complessi CW, sono cartesiane chiuse. Gli spazi di approssimazione offrono un esempio di categoria di spazi che è un topos ed è "grosso" abbastanza da contenere spazi interessanti. Ogni spazio topologico semilocalmente semplicemente connesso $X$ ammette una teoria di Galois che "rappresenta" il suo gruppo fondamentale facendolo agire sulle fibre dei rivestimenti sopra $X$.
- non è cartesiana chiusa, vedi anche il secondo tomo dell'Handbook of Categorical Algebra di Borceux, la proposizione 7.1.2.
- Non è presentabile per nessun cardinale \(\alpha\), e i suoi oggetti \(\alpha\)-presentabili non sono gli spazi \(\alpha\)-compatti (questo è un noto problema che venne fuori nel libro di Hovey sulle categorie modello; povero Hovey)
- contrariamente al famoso principio del micro- e macrocosmo, la categoria degli spazi topologici non è un topos, cioè non si può vedere come un gros topos nel senso di Grothendieck.
- Legato a questo problema c'è il fatto vari tentativi di riformulare la topologia generale mediante degli strumenti più algebrici sono destinati a catturare solo alcuni spazi topologici; uno può confondere lo spazio topologico $X$ con il frame dei suoi aperti, ma perde delle informazioni e riesce a studiare solo spazi sobri.
- Il topologo quadratico medio vuole studiare oggetti non patologici, perché più della eccezione statistica gli interessa la tassonomia dei casi "concreti": però se non stai attento a definire bene cosa è uno spazio ti ritrovi tutti quei famosi spazi che sono connessi ma non per archi, spazi che non ammettono un rivestimento universale, e come conseguenza spazi il cui gruppo fondamentale è molto complicato da studiare (per esempio, può succedere che sia un gruppo profinito), oppure -in topologia differenziale- varietà che hanno una struttura autosimile, come certi frattali, la sfera cornuta di Alexander, o capi di bestiario simili. Gli invarianti che di solito uno sa calcolare, per questi oggetti si rompono.
Il primo problema è piu profondo di quanto uno possa pensare all'inizio: se \(\sf Top\) ha una struttura semicartesiana è proprio ciò che immediatamente precede Borceux II.7.1.2 a dimostrare che quella struttura è in realtà cartesiana, quindi il problema è proprio che c'è "troppa roba" in \(\sf Top\) per garantire che i suoi oggetti siano tutti esponenziabili. Il secondo problema è pure piuttosto profondo, perché ti dice che gli spazi topologici sono abbastanza, e abbastanza "grandi" da non poter essere approssimati da nessuna sotto-collezione piccola di oggetti. E' un po' l'analogo degli spazi vettoriali a dimensione infinita: nessun insieme finito di vettori genererà mai tutto lo spazio. Qui è la stessa cosa, solo che il problema è che nessun insieme genererà mai tutta \(\sf Top\). Il terzo problema è al cuore di quella che si chiama "topologia senza punti", o pointfree topology, che ti invito a googlare.
Nel corso del tempo sono state proposte diverse soluzioni al problema, adattate caso per caso alla necessità; sottocategorie famose di \(\sf Top\), come gli spazi compattamente generati, oppure i complessi CW, sono cartesiane chiuse. Gli spazi di approssimazione offrono un esempio di categoria di spazi che è un topos ed è "grosso" abbastanza da contenere spazi interessanti. Ogni spazio topologico semilocalmente semplicemente connesso $X$ ammette una teoria di Galois che "rappresenta" il suo gruppo fondamentale facendolo agire sulle fibre dei rivestimenti sopra $X$.
Grazie Megas e anche agli altri per le informazioni. Mi fa piacere sapere che il problema non è banale come sembra, anzi...
Come ho già detto prima, io ho una vaga memoria dell'esistenza di un "indice/numero di disconnessione" per uno spazio topologico, ma non riesco a trovare niente in merito...
Quello che ricordavo è (rifacendomi alle notazioni del primo post): se $X=RR^n$, $Y$ separa $X$ se e solo se $EEf:Y->S^(n-1)$ che non sia nullomotopica.
Equivalentemente ($Y$ compatto) se e solo se $(S^(n-1))^Y$ non è connesso per archi con la compatta aperta.
Però non è molto collegabile con il concetto di dimensione, almeno mi pare.
Equivalentemente ($Y$ compatto) se e solo se $(S^(n-1))^Y$ non è connesso per archi con la compatta aperta.
Però non è molto collegabile con il concetto di dimensione, almeno mi pare.
Seguo con interesse;
sto imparando alcuni trucchi che non conoscevo.
@megas_archon [ot]Hai appena demolito un mito: \(\mathbf{Top}\) non è anarchica, è proprio un lebbrosario![/ot]
sto imparando alcuni trucchi che non conoscevo.
@megas_archon [ot]Hai appena demolito un mito: \(\mathbf{Top}\) non è anarchica, è proprio un lebbrosario!
[/ot]
"otta96":Questo è un elemento non banale del $n-1$-esima coomotopia di $Y$, il che è interessante...
Quello che ricordavo è (rifacendomi alle notazioni del primo post): se $X=RR^n$, $Y$ separa $X$ se e solo se $EEf:Y->S^(n-1)$ che non sia nullomotopica.
Si, è interessante vederla in quel modo, non ci avevo pensato, comunque è un risultato di Borsuk.
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