Esercizio base di un sottospazio vettoriale
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con un esercizio:
Se possibile trovare una base di \(\displaystyle \{(x,y,z,t)\in \mathbb{R^4}: x+y+z+t=0\} \) che contenga i vettori
(i) \(\displaystyle (1,-1,0,0) \) e \(\displaystyle (1,-1,1,-1) \)
(ii) \(\displaystyle (1,-1,1,-1) \) e \(\displaystyle (-1,1,-1,1) \)
(iii) \(\displaystyle (1,2,3,-6) \)
In generale so come trovare una base di questo sottospazio, di solito procederei così:
Prima di tutto determino la dimensione per capire quanti vettori deve contenere la base... Considerando il sistema omogeneo associato, applicando il teorema di Rouche-Capelli mi sembra immediato capire che la dimensione di questo sottospazio sia 3.
Ora farei così:
\(\displaystyle V : \{ (-y-z-t,y,z,t) : y,z,t \in \mathbb{R} \}\)
e sostituirei 1 ad una variabile e zero alle altre, iterando il procedimento per ogni variabile ottengo i vettori che costituiscono una base.
Ma in questo caso, dati già due vettori come potrei fare?
Se possibile trovare una base di \(\displaystyle \{(x,y,z,t)\in \mathbb{R^4}: x+y+z+t=0\} \) che contenga i vettori
(i) \(\displaystyle (1,-1,0,0) \) e \(\displaystyle (1,-1,1,-1) \)
(ii) \(\displaystyle (1,-1,1,-1) \) e \(\displaystyle (-1,1,-1,1) \)
(iii) \(\displaystyle (1,2,3,-6) \)
In generale so come trovare una base di questo sottospazio, di solito procederei così:
Prima di tutto determino la dimensione per capire quanti vettori deve contenere la base... Considerando il sistema omogeneo associato, applicando il teorema di Rouche-Capelli mi sembra immediato capire che la dimensione di questo sottospazio sia 3.
Ora farei così:
\(\displaystyle V : \{ (-y-z-t,y,z,t) : y,z,t \in \mathbb{R} \}\)
e sostituirei 1 ad una variabile e zero alle altre, iterando il procedimento per ogni variabile ottengo i vettori che costituiscono una base.
Ma in questo caso, dati già due vettori come potrei fare?
Risposte
È possibile che i due vettori in (ii) siano elementi di una base? Dato un insieme di 2 vettori v, w in uno spazio di dimensione 3, se ne può sempre trovare un terzo u, tale che {u, v, w} sia una base?
In (ii) i due vettori dati sono linearmente dipendenti quindi no...
Due vettori linearmente indipendenti in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) generano un piano, si può trovare un terzo vettore affinchè lo spazio generato sia proprio \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) a patto che il terzo vettore non sia contenuto nel piano generato dagli altri due...
In sostanza i tre vettori generano \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) se e solo se il prodotto misto non si annulla:
\(\displaystyle \mathrm{u}\times\mathrm{v}\cdot\mathrm{w} \neq 0\)
è esatto?
Due vettori linearmente indipendenti in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) generano un piano, si può trovare un terzo vettore affinchè lo spazio generato sia proprio \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) a patto che il terzo vettore non sia contenuto nel piano generato dagli altri due...
In sostanza i tre vettori generano \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) se e solo se il prodotto misto non si annulla:
\(\displaystyle \mathrm{u}\times\mathrm{v}\cdot\mathrm{w} \neq 0\)
è esatto?
"LogicalCake":
\(\displaystyle V : \{ (-y-z-t,y,z,t) : y,z,t \in \mathbb{R} \}\)
Essendo il tuo spazio formato da vettori del tipo $(-y-z-t,y,z,t)$, separando le variabili ricavi immediatamente una base, infatti:
$(-y-z-t,y,z,t)=y(-1,1,0,0)+z(-1,0,1,0)+t(-1,0,0,1) $
Dunque una base del tuo spazio è $\mathcal{B}=\{(-1,1,0,0);(-1,0,1,0);(-1,0,0,1)\}=\{v_1;v_2;v_3\}$.
Il punto $(i)$ ti chiede di trovare una base che contenga i vettori $(1,-1,0,0)$ e $(1,-1,1,-1)$.
Osserviamo anzitutto che:
- entrambi i vettori soddisfano l'equazione $x+y+z+t=0$, dunque appartengono al mio spazio
- i due vettori sono indipendenti.
Inoltre si ha che:
$(1,-1,0,0)=-v_1$; mentre $(1,-1,1,-1)=-v_1+v_2-v_3$, dunque per completare l'insieme $(i)$ a base, basta scegliere uno a caso dei vettori tra $v_2 \mbox{ e } v_3$.
Il punto $(ii)$ chiede di trovare una base che contenga i vettori $(1,-1,1,-1) \mbox{ e } (-1,1,-1,1)$.
Anche in questo caso, entrambi i vettori appartengono al mio spazio (soddisfano l'equazione); tuttavia sono linearmente dipendenti in quanto $(1,-1,1,-1)=-(-1,1,-1,1)$.
Cerco allora una base che contenga uno dei due, ad esempio che contenga il vettore $(1,-1,1-1)$ [perché l'avevo già incontrato nel caso di sopra]; allora la base scelta per il punto $(i)$ va bene anche per il punto $(ii)$.
Il punto $(iii)$ chiede invece di trovare una base che contenga il vettore $(1,2,3,-6)$.
Si vede facilmente che $(1,2,3,-6)$ risolve l'equazione e che
$ (1,2,3,-6)=2v_1+3v_2-6v_3$
Allora una base può essere $\{(1,2,3,-6);v_1;v_2\}$. [basta scegliere due vettori a caso tra quelli della base $\mathcal{B}$]
L'idea alla base è trovare una base di vettori dello spazio e vedere i vettori che ti danno "in che rapporti sono" con quelli della base trovata.
Se ad esempio avessi voluto trovare una base che contiene il vettore $(-2,1,1,0)$, bastava osservare che $(-2,1,1,0)=v_1+v_2$, quindi per completare a base, posso prendere
$(-2,1,1,0);v_1;v_3$
oppure
$(-2,1,1,0);v_2;v_3$
ma non posso prendere
$(-2,1,1,0);v_1;v_2$, in quanto $v_1,\, v_2$ generano $(-2,1,1,0)$ e quindi non avrei un insieme di vettori indipendenti
"LogicalCake":
In (ii) i due vettori dati sono linearmente dipendenti quindi no...
Due vettori linearmente indipendenti in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) generano un piano, si può trovare un terzo vettore affinchè lo spazio generato sia proprio \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) a patto che il terzo vettore non sia contenuto nel piano generato dagli altri due...
In sostanza i tre vettori generano \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) se e solo se il prodotto misto non si annulla:
\(\displaystyle \mathrm{u}\times\mathrm{v}\cdot\mathrm{w} \neq 0\)
è esatto?
L'affermazione è esatta, tuttavia ricorda che qui sei in un sottospazio di $\mathbb{R}^4$ di dimensione $3$, che non vuol dire che stai ragionando su $\mathbb{R}^3$!
Il tuo sottospazio è isomorfo ad $\mathbb{R}^3$, ma non è esattamente $\mathbb{R}^3$.
Infatti i vettori della tua base hanno 4 coordinate e non 3.
E' un dettaglio difficile con cui avere a che fare, lo capisco, però bisogna farci attenzione
"LogicalCake":
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano con un esercizio:
Se possibile trovare una base di \(\displaystyle \{(x,y,z,t)\in \mathbb{R^4}: x+y+z+t=0\} \) che contenga i vettori
(i) \(\displaystyle (1,-1,0,0) \) e \(\displaystyle (1,-1,1,-1) \)
(ii) \(\displaystyle (1,-1,1,-1) \) e \(\displaystyle (-1,1,-1,1) \)
(iii) \(\displaystyle (1,2,3,-6) \)
In generale so come trovare una base di questo sottospazio, di solito procederei così:
Prima di tutto determino la dimensione per capire quanti vettori deve contenere la base... Considerando il sistema omogeneo associato, applicando il teorema di Rouche-Capelli mi sembra immediato capire che la dimensione di questo sottospazio sia 3.
Ora farei così:
\(\displaystyle V : \{ (-y-z-t,y,z,t) : y,z,t \in \mathbb{R} \}\)
e sostituirei 1 ad una variabile e zero alle altre, iterando il procedimento per ogni variabile ottengo i vettori che costituiscono una base.
Ma in questo caso, dati già due vettori come potrei fare?
Mi è venuta in mente una possibile soluzione, ma ho bisogno di una conferma...
Anzitutto trovo una base del sottospazio utilizzando il metodo che ho descritto sopra:
\(\displaystyle \mathcal{B} = \{(-1,1,0,0),(-1,0,1,0),(-1,0,0,1)\}\)
Ora considero la matrice associata a questi tre vettori, e operando sulle righe cerco di ottenere i due vettori che mi sono stati dati, se non riesco vuol dire che non è possibile:
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}-1&1&0&0\\-1&0&1&0\\-1&0&0&1\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&-1&0&0\\-1&0&1&0\\1&0&0&-1\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&-1&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&1&-1\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&-1&0&0\\-1&0&1&0\\1&-1&1&-1\end{pmatrix} \)
In questo caso ho cercato di ottenere mediante le operazioni elementari sulle righe i vettori forniti nel punto (i), ed essendoci riuscito sono in grado di dire che i vettori che costituiscono lo spazio delle righe di \(\displaystyle A \) sono una base del sottospazio considerato:
\(\displaystyle \mathcal{B} = \{(1,-1,0,0),(-1,0,1,0),(1,-1,1,-1)\} \)
Questo procedimento è esatto? Esistono modi più efficienti/veloci? Grazie a tutti dell'aiuto
"Lebesgue":
[quote="LogicalCake"]In (ii) i due vettori dati sono linearmente dipendenti quindi no...
Due vettori linearmente indipendenti in \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) generano un piano, si può trovare un terzo vettore affinchè lo spazio generato sia proprio \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) a patto che il terzo vettore non sia contenuto nel piano generato dagli altri due...
In sostanza i tre vettori generano \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) se e solo se il prodotto misto non si annulla:
\(\displaystyle \mathrm{u}\times\mathrm{v}\cdot\mathrm{w} \neq 0\)
è esatto?
L'affermazione è esatta, tuttavia ricorda che qui sei in un sottospazio di $\mathbb{R}^4$ di dimensione $3$, che non vuol dire che stai ragionando su $\mathbb{R}^3$!
Il tuo sottospazio è isomorfo ad $\mathbb{R}^3$, ma non è esattamente $\mathbb{R}^3$.
Infatti i vettori della tua base hanno 4 coordinate e non 3.
E' un dettaglio difficile con cui avere a che fare, lo capisco, però bisogna farci attenzione[/quote]
Infatti avevo notato questo "dettaglio" che di certo non è marginale, non capivo il motivo per cui mi era stata posta quella domanda...
"Lebesgue":
[quote="LogicalCake"]
\(\displaystyle V : \{ (-y-z-t,y,z,t) : y,z,t \in \mathbb{R} \}\)
Essendo il tuo spazio formato da vettori del tipo $(-y-z-t,y,z,t)$, separando le variabili ricavi immediatamente una base, infatti:
$(-y-z-t,y,z,t)=y(-1,1,0,0)+z(-1,0,1,0)+t(-1,0,0,1) $
Dunque una base del tuo spazio è $\mathcal{B}=\{(-1,1,0,0);(-1,0,1,0);(-1,0,0,1)\}=\{v_1;v_2;v_3\}$.
Il punto $(i)$ ti chiede di trovare una base che contenga i vettori $(1,-1,0,0)$ e $(1,-1,1,-1)$.
Osserviamo anzitutto che:
- entrambi i vettori soddisfano l'equazione $x+y+z+t=0$, dunque appartengono al mio spazio
- i due vettori sono indipendenti.
Inoltre si ha che:
$(1,-1,0,0)=-v_1$; mentre $(1,-1,1,-1)=-v_1+v_2-v_3$, dunque per completare l'insieme $(i)$ a base, basta scegliere uno a caso dei vettori tra $v_2 \mbox{ e } v_3$.
Il punto $(ii)$ chiede di trovare una base che contenga i vettori $(1,-1,1,-1) \mbox{ e } (-1,1,-1,1)$.
Anche in questo caso, entrambi i vettori appartengono al mio spazio (soddisfano l'equazione); tuttavia sono linearmente dipendenti in quanto $(1,-1,1,-1)=-(-1,1,-1,1)$.
Cerco allora una base che contenga uno dei due, ad esempio che contenga il vettore $(1,-1,1-1)$ [perché l'avevo già incontrato nel caso di sopra]; allora la base scelta per il punto $(i)$ va bene anche per il punto $(ii)$.
Il punto $(iii)$ chiede invece di trovare una base che contenga il vettore $(1,2,3,-6)$.
Si vede facilmente che $(1,2,3,-6)$ risolve l'equazione e che
$ (1,2,3,-6)=2v_1+3v_2-6v_3$
Allora una base può essere $\{(1,2,3,-6);v_1;v_2\}$. [basta scegliere due vettori a caso tra quelli della base $\mathcal{B}$]
L'idea alla base è trovare una base di vettori dello spazio e vedere i vettori che ti danno "in che rapporti sono" con quelli della base trovata.
Se ad esempio avessi voluto trovare una base che contiene il vettore $(-2,1,1,0)$, bastava osservare che $(-2,1,1,0)=v_1+v_2$, quindi per completare a base, posso prendere
$(-2,1,1,0);v_1;v_3$
oppure
$(-2,1,1,0);v_2;v_3$
ma non posso prendere
$(-2,1,1,0);v_1;v_2$, in quanto $v_1,\, v_2$ generano $(-2,1,1,0)$ e quindi non avrei un insieme di vettori indipendenti[/quote]
Chiarissimo, grazie tante, similmente è quello che ho fatto io utilizzando una notazione a dir poco eccessiva... Grazie ancora dell'aiuto!!!
"LogicalCake":
Chiarissimo, grazie tante, similmente è quello che ho fatto io utilizzando una notazione a dir poco eccessiva... Grazie ancora dell'aiuto!!!
Figurati, di nulla!
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