Riduzione per righe e rango di una matrice con parametro
Ciao a tutti, avrei una domanda su un semplice esercizio riguardante la riduzione per righe e il rango di una matrice con parametro.
La matrice è questa: \(\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&0\\a&0&1\end{pmatrix} \)
Mi viene in mente che la matrice è riducibile anzitutto per \(\displaystyle a=0 \) e in questo caso \(\displaystyle \rho(A) = 3 \).
Poi vedo che è possibile modificare il primo elemento della terza riga sommando o sottraendo alla terza riga un multiplo della prima quindi:
\(\displaystyle A \sim \begin{pmatrix}n&0&na\\0&1&0\\a&0&1\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}n&0&na\\0&1&0\\a\pm n &0& 1\pm na\end{pmatrix} : a,n \in \mathbb{R} \)
In questo caso affinché la matrice sia riducibile \(\displaystyle a = \mp n \). Da cui ottengo:
\(\displaystyle A \sim \begin{pmatrix}n&0&na\\0&1&0\\0 &0 & 1-n^2\end{pmatrix} \)
In questo caso noto che \(\displaystyle \rho(A)=2 \Leftrightarrow n=\pm 1 \) mentre per tutti gli altri valori di \(\displaystyle n \) mi sembra di notare che \(\displaystyle \rho(A) =3 \).
Ora, la mia domanda è: ho utilizzato un procedimento inutilmente elaborato? Mi sembra di una complicazione esagerata poiché non credo di essere in grado di riuscire a gestire un procedimento simile per matrici decisamente più complesse, banalmente mi sembra un procedimento basato troppo sull'intuito... Mi chiedo se esiste un metodo più veloce ed efficace, oltre a chiedermi semplicemente se non ho fatto un pasticcio colossale... Insomma, spero possiate aiutarmi hahahaha
La matrice è questa: \(\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&0\\a&0&1\end{pmatrix} \)
Mi viene in mente che la matrice è riducibile anzitutto per \(\displaystyle a=0 \) e in questo caso \(\displaystyle \rho(A) = 3 \).
Poi vedo che è possibile modificare il primo elemento della terza riga sommando o sottraendo alla terza riga un multiplo della prima quindi:
\(\displaystyle A \sim \begin{pmatrix}n&0&na\\0&1&0\\a&0&1\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}n&0&na\\0&1&0\\a\pm n &0& 1\pm na\end{pmatrix} : a,n \in \mathbb{R} \)
In questo caso affinché la matrice sia riducibile \(\displaystyle a = \mp n \). Da cui ottengo:
\(\displaystyle A \sim \begin{pmatrix}n&0&na\\0&1&0\\0 &0 & 1-n^2\end{pmatrix} \)
In questo caso noto che \(\displaystyle \rho(A)=2 \Leftrightarrow n=\pm 1 \) mentre per tutti gli altri valori di \(\displaystyle n \) mi sembra di notare che \(\displaystyle \rho(A) =3 \).
Ora, la mia domanda è: ho utilizzato un procedimento inutilmente elaborato? Mi sembra di una complicazione esagerata poiché non credo di essere in grado di riuscire a gestire un procedimento simile per matrici decisamente più complesse, banalmente mi sembra un procedimento basato troppo sull'intuito... Mi chiedo se esiste un metodo più veloce ed efficace, oltre a chiedermi semplicemente se non ho fatto un pasticcio colossale... Insomma, spero possiate aiutarmi hahahaha
Risposte
Ah ok credo di aver capito da solo diciamo, invece di fare in questo modo potrei semplicemente aggiungere alla terza riga la prima moltiplicata di un fattore \(\displaystyle -a\).
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&0\\a&0&1\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&0\\0&0&1-a^2\end{pmatrix} \)
Da cui semplicemente vedo che \(\displaystyle \forall a \in \mathbb{R} : a \neq \pm 1 \Rightarrow \rho(A) = 3\) mentre se \(\displaystyle a = \pm 1 \Rightarrow \rho(A) = 2\) giusto?
Ora non so, qualcuno ha qualche consiglio per non sbagliare? Sono proprio alle prime armi
\(\displaystyle A = \begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&0\\a&0&1\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}1&0&a\\0&1&0\\0&0&1-a^2\end{pmatrix} \)
Da cui semplicemente vedo che \(\displaystyle \forall a \in \mathbb{R} : a \neq \pm 1 \Rightarrow \rho(A) = 3\) mentre se \(\displaystyle a = \pm 1 \Rightarrow \rho(A) = 2\) giusto?
Ora non so, qualcuno ha qualche consiglio per non sbagliare? Sono proprio alle prime armi
Il procedimento è corretto: hai fatto bene a separare le due casistiche $a=0$ e $a!=0$. Poi guardi i pivot e trai le conclusioni.
In generale, il mio consiglio è non ossessionarsi con la matrice a scalini (che spesso porta a fare calcoli inutili).
Per esempio, prendi la matrice A e inverti la prima e terza colonna ottenendo la matrice B: anche da qua riesci a vedere i pivot dopo il medesimo passaggio anche se non sono ordinati a scalini.
Spostare le colonne significa solo invertire l'ordine delle variabili. Ai fini del rango non cambia nulla. Ai fini delle soluzioni di un eventuale sistema $Bx=0$ oppure $Bx=c$, invertire le due colonne e risolverlo per $Ax$ è più comodo (ma non strettamente necessario)...a patto però di ricordarsi, alla fine, di invertire la prima e la terza componente della soluzione trovata.
In generale, il mio consiglio è non ossessionarsi con la matrice a scalini (che spesso porta a fare calcoli inutili).
Per esempio, prendi la matrice A e inverti la prima e terza colonna ottenendo la matrice B: anche da qua riesci a vedere i pivot dopo il medesimo passaggio anche se non sono ordinati a scalini.
Spostare le colonne significa solo invertire l'ordine delle variabili. Ai fini del rango non cambia nulla. Ai fini delle soluzioni di un eventuale sistema $Bx=0$ oppure $Bx=c$, invertire le due colonne e risolverlo per $Ax$ è più comodo (ma non strettamente necessario)...a patto però di ricordarsi, alla fine, di invertire la prima e la terza componente della soluzione trovata.
"Bokonon":
Il procedimento è corretto: hai fatto bene a separare le due casistiche $a=0$ e $a!=0$. Poi guardi i pivot e trai le conclusioni.
In generale, il mio consiglio è non ossessionarsi con la matrice a scalini (che spesso porta a fare calcoli inutili).
Per esempio, prendi la matrice A e inverti la prima e terza colonna ottenendo la matrice B: anche da qua riesci a vedere i pivot dopo il medesimo passaggio anche se non sono ordinati a scalini.
Spostare le colonne significa solo invertire l'ordine delle variabili. Ai fini del rango non cambia nulla. Ai fini delle soluzioni di un eventuale sistema $Bx=0$ oppure $Bx=c$, invertire le due colonne e risolverlo per $Ax$ è più comodo (ma non strettamente necessario)...a patto però di ricordarsi, alla fine, di invertire la prima e la terza componente della soluzione trovata.
Ciao, grazie della risposta, non avevo mai pensato effettivamente a scambiare delle colonne. Ma in questo caso sembrerebbe che scambiare 1 e 3 colonna equivalrebbe a scambiare 1 e 3 riga giusto?
Grazie tante della conferma comunque!
"Bokonon":
In generale, il mio consiglio è non ossessionarsi con la matrice a scalini (che spesso porta a fare calcoli inutili).
Ossessionarsi non è mai bene però vorrei aggiungere un pensierino ...
Per chi è alle prime armi o comunque non ha la dimestichezza (e capacità) che hai tu, ridurre la matrice a scalini dovrebbe essere sempre la priorità, poi quando si diventa più esperti e soprattutto con l'occhio più allenato si possono tentare tutte le scorciatoie
Tra l'altro mi pare che sia proprio questo il caso ...
Cordialmente, Alex
"LogicalCake":
Ciao, grazie della risposta, non avevo mai pensato effettivamente a scambiare delle colonne. Ma in questo caso sembrerebbe che scambiare 1 e 3 colonna equivarrebbe a scambiare 1 e 3 riga giusto?
Beh vabbè, è un puro caso...nel discorso generale
Anche se Alex (che saluto) non è d'accordo, io credo che il mio suggerimento sia sensato per diversi motivi:
a ) innanzitutto invita a ragionare. L'applicazione meccanica di un algoritmo (per quanto sensata ed efficiente) porta a fossilizzare i concetti IMHO. Variare ogni tanto, costringe a riflettere sul senso di ciò che si sta facendo.
b ) nel tempo, le riflessioni si accumulano e i concetti teorici si interconnettono in modo più chiaro.
c ) è utile anche all'atto pratico: una breve occhiata ad una matrice può fornire già a grandi linee le soluzioni...prima di iniziare a testa bassa con i calcoli.
Un minimo di creatività rende la matematica decisamente più piacevole IMHO...e non limito ovviamente il discorso all'algebra lineare.
Ciao Bokonon
Io concordo con ciò che dici ma penso che sono cose che vengono col tempo; soprattutto per chi è alle prime armi partire un po' a caso cercando semplificazioni, spesso improbabili, non aiuta e quando sei andato in confusione poi non ti fidi più neanche delle basi
Credo che prima sia meglio impadronirsi di un metodo solido ed efficace e poi sperimentare di modo che se ti perdi in una scorciatoia puoi sempre ritornare sulla strada maestra
Cordialmente, Alex
Io concordo con ciò che dici ma penso che sono cose che vengono col tempo; soprattutto per chi è alle prime armi partire un po' a caso cercando semplificazioni, spesso improbabili, non aiuta e quando sei andato in confusione poi non ti fidi più neanche delle basi
Credo che prima sia meglio impadronirsi di un metodo solido ed efficace e poi sperimentare di modo che se ti perdi in una scorciatoia puoi sempre ritornare sulla strada maestra
Cordialmente, Alex
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