Esercizio algebra lineare

[asromavale1]

mi viene richiesto di dimostrare che dati tre vettori nello spazio linearmente indipendenti posso sempre scrivere un quarto vettore come combinazione lineare di questi. ho provato a disegnare il tutto ma non mi riesce di dimostrarlo

[asromavale1]

a pag. 83 di queste dispense http://calvino.polito.it/~salamon/P/G/alga3.pdf ho trovato la dimostrazione che cercavo. l'unico punto che non capisco è quando dice a pag. 85 "Supponiamo che D non appartenga a $ pi $ (in caso contrario il teorema sarebbe dimostrato)".ma perché in quel caso sarebbe dimostrato?

[minomic]

Ciao,
perché se $O$, $A$, $B$ e $D$ sono complanari allora puoi subito scrivere $x$ come combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$, cioè
\[
x = a_1 v_1 + a_2 v_2
\]

[asromavale1]

si ma così dimostro che sono dipendenti i tre vettori che hai scritto ,non tutti e quattro.

[minomic]

$v_3$ lo puoi prendere come se avesse coefficiente pari a $0$...

[asromavale1]

infatti ci avevo pensato,per questo in un altro messaggio chiedevo se era possibile dire che dati tre vettori linearmente dipendenti posso dire che anche aggiungendone un quarto i quattro vettori sono linearmente dipendenti. cioè se ho: $ vec(v1) = alpha vec(v2)+ beta vec(v3) $ posso dire che $ vec(v1) = alpha vec(v2)+ beta vec(v3) + 0vec(v4) $ e quindi che i quattro vettori sono linearmente dipendenti

[minomic]

Sì, certamente.

[asromavale1]

grazie del tempo dedicatomi

[minomic]

Figurati! Per altri dubbi siamo qui.