Piano passante per una retta e un punto
Ciao a tutti !
Sono alle prese con questo esercizio e mi sono perso in un piccolo passaggio.
Ho un piano definito da $pi :$ $\{(x=1+s+2t ),(y=3s),(z=2+t):}$
Devo trovare la retta $r$ perpendicolare al piano ,allora trovo la normale facendo il prodotto vettoriale tra $vec a =(2,0,1), vec b=(1,3,0)$ coefficienti di $t$ e $s$. Mi viene $r :$ ${(x=2-3t),(y=1+t),(z=6t):}$
Ora devo trovare il piano $alpha$ per $Q=(1,0,1)$ e per $r$.
Per farlo uso avviamente $Q$ e $vec n=(-3,1,6)$ vettore direzione della retta e a questo punto non riesco a trovare l altro vettore direzione !!! Ho pensato di prenderlo perpendicolare alla retta visto che sarebbe comunque sullo stesso piano,ma non sono convinto della mia scelta. Mi fate capire come scegliere l altro vettore e soprattutto perché.
Vi ringrazio !
Sono alle prese con questo esercizio e mi sono perso in un piccolo passaggio.
Ho un piano definito da $pi :$ $\{(x=1+s+2t ),(y=3s),(z=2+t):}$
Devo trovare la retta $r$ perpendicolare al piano ,allora trovo la normale facendo il prodotto vettoriale tra $vec a =(2,0,1), vec b=(1,3,0)$ coefficienti di $t$ e $s$. Mi viene $r :$ ${(x=2-3t),(y=1+t),(z=6t):}$
Ora devo trovare il piano $alpha$ per $Q=(1,0,1)$ e per $r$.
Per farlo uso avviamente $Q$ e $vec n=(-3,1,6)$ vettore direzione della retta e a questo punto non riesco a trovare l altro vettore direzione !!! Ho pensato di prenderlo perpendicolare alla retta visto che sarebbe comunque sullo stesso piano,ma non sono convinto della mia scelta. Mi fate capire come scegliere l altro vettore e soprattutto perché.
Vi ringrazio !
Risposte
Ragiona così: se la retta e il punto sono entrambi sul piano, fissato un punto qualsiasi sulla retta $r$, chiamiamolo $P$, come si trova posizionato, rispetto al piano che vuoi determinare, il vettore $PQ$?
Sarà senz 'altro sul piano! Ci avevo pensato ma non avevo pensato a una serie di conseguenze..ti ringrazio ! 
Ci sarebbe un altro metodo ( che personalmente ritengo concettualmente più semplice).
Eliminando la variabile t dalle equazioni della retta r, ho il sistema :
\begin{cases}2x+z-4=0\\6y-z-6=0\end{cases}
Pertanto l'equazione del fascio di piani, di asse la retta r, è :
$\lambda(2x+z-4)+mu(6y-z-6)=0$
Imponendo il passaggio per $Q(1,0,1)$ risulta $\lambda=-7\mu$ e quindi sostituendo nell'equazione del fascio, con qualche facile passaggio, si ottiene l'equazione del piano richiesto:
$7x-3y+4z-11=0$
Eliminando la variabile t dalle equazioni della retta r, ho il sistema :
\begin{cases}2x+z-4=0\\6y-z-6=0\end{cases}
Pertanto l'equazione del fascio di piani, di asse la retta r, è :
$\lambda(2x+z-4)+mu(6y-z-6)=0$
Imponendo il passaggio per $Q(1,0,1)$ risulta $\lambda=-7\mu$ e quindi sostituendo nell'equazione del fascio, con qualche facile passaggio, si ottiene l'equazione del piano richiesto:
$7x-3y+4z-11=0$
Ma la nostra prof non ci ha dato il fascio di piani e rette e quindi non vorrei avventurarmi...
Ma per 2 rette sghembe puo passare un piano?
Ma per 2 rette sghembe puo passare un piano?
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