Triangoli su un piano: individuazione del centro di rotazione tra di loro.
Sto affrontando il seguente problema:
Sono dati due triangoli ABO e CDO. Il punto O è in comune
Nel mio sistema di riferimento x,y, ho fra i dati noti le coordinate di A e di B (quindi anche la distanza AB), la lunghezza CD e le leggi di moto c(t) (distanza AD) e d(t) (distanza BC).
Ho scelto il sistema di riferimento con origine in B ed è solidale col triangolo superiore (pertanto fisso).
Il triangolo inferiore OCD ruota invece con centro di rotazione in O al variare di c(t) e d(t).
L'incognita del mio problema è proprio ricavare le coordinate del punto O.
Ogni metodo è bene accetto (algebrico, numerico...)
Bene accetti anche spunti per provare a discutere del problema.
Ho già risolto il problema di cinematica diretta (data la geometria dei triangoli e una legge d(t) ricavare c(d(t)).
Per provare a rispondermi ho cercato il centro di rotazione di CD ma istante per istante non è univocamente definito.
Ringrazio anticipatamente quanti vorranno aiutare.
Sono dati due triangoli ABO e CDO. Il punto O è in comune
Nel mio sistema di riferimento x,y, ho fra i dati noti le coordinate di A e di B (quindi anche la distanza AB), la lunghezza CD e le leggi di moto c(t) (distanza AD) e d(t) (distanza BC).
Ho scelto il sistema di riferimento con origine in B ed è solidale col triangolo superiore (pertanto fisso).
Il triangolo inferiore OCD ruota invece con centro di rotazione in O al variare di c(t) e d(t).
L'incognita del mio problema è proprio ricavare le coordinate del punto O.
Ogni metodo è bene accetto (algebrico, numerico...)
Bene accetti anche spunti per provare a discutere del problema.
Ho già risolto il problema di cinematica diretta (data la geometria dei triangoli e una legge d(t) ricavare c(d(t)).
Per provare a rispondermi ho cercato il centro di rotazione di CD ma istante per istante non è univocamente definito.
Ringrazio anticipatamente quanti vorranno aiutare.
Risposte
C'è una cosa che non capisco: il triangolo ABO è rigido? Oppure è "mobile", nel senso che uno o più vertici si spostano (sembrerebbe di sì, visto che dici che devi ricavare l'equazione del moto di $O$)? Tra l'altro, come si muove tale triangolo? B, da quello che dici, sembra "fisso", mentre non è chiaro se $A$ lo sia, o se si muova sull'asse che hai disegnato o altro.
Grazie.
Mi sono espresso probabilmente male.
$ABO$ è fisso. Conosco le coordinate (fisse) di $A$ e di $B$ (origine sistema di riferimento).
Le coordinate di $O$ sono invece le incognite dle mio problema.
Anche il triangolo $CDO$ è a geometria fissa (non variano nè lati nè angoli), conosco la lunghezza $CD$ ma non le coordinate degli estremi. Tale triangolo ruota intorno ad $O$.
Conosco la variazione nel tempo delle distanze $BC$ e $DA$.
Mi sono espresso probabilmente male.
$ABO$ è fisso. Conosco le coordinate (fisse) di $A$ e di $B$ (origine sistema di riferimento).
Le coordinate di $O$ sono invece le incognite dle mio problema.
Anche il triangolo $CDO$ è a geometria fissa (non variano nè lati nè angoli), conosco la lunghezza $CD$ ma non le coordinate degli estremi. Tale triangolo ruota intorno ad $O$.
Conosco la variazione nel tempo delle distanze $BC$ e $DA$.
Capiamoci: quindi non conosci il valore di $q$né quello di $a_1$ e $a_2$, giusto? Quindi diciamo che $B(0,0)$ e $A(a,0)$ sono noti, mentre $O(q,a_1)$ non sono note. O sbaglio? Non hai informazioni sul triangolo AOB?
Esatto. Non sbagli. Del triangolo $AOB$ conosco solo i punti (fissi) $A(a,0)$ e $B(0,0)$.
Conosco poi la lunghezza fissa del segmento $CD$ (ma non l'esatta ubicazione istante per istante) e la sua rotazione nel tempo attraverso le lunghezze ($AD=c(t)$ e $BC=d(t)$).
Per lo studio di tale geometria ho costruito su Matlab il problema di cinematica diretta: ovvero ho assegnato una geometria al sistema e data un'evoluzione $d(t)$ impostata (con un vettore a intervalli costanti) ho ricavato l'andamento di $c(t)$.
Ora il mio cruccio è la cinematica inversa. Dal momento che non ho informazioni sulle coordinate di $C$ e $D$ nè degli angoli che formano con il mio sistema di riferimento.
Conosco poi la lunghezza fissa del segmento $CD$ (ma non l'esatta ubicazione istante per istante) e la sua rotazione nel tempo attraverso le lunghezze ($AD=c(t)$ e $BC=d(t)$).
Per lo studio di tale geometria ho costruito su Matlab il problema di cinematica diretta: ovvero ho assegnato una geometria al sistema e data un'evoluzione $d(t)$ impostata (con un vettore a intervalli costanti) ho ricavato l'andamento di $c(t)$.
Ora il mio cruccio è la cinematica inversa. Dal momento che non ho informazioni sulle coordinate di $C$ e $D$ nè degli angoli che formano con il mio sistema di riferimento.
Sono arrivato al seguente sistema di 13 equazioni in 13 incognite confrontando due configurazioni di $d(t)$ e $c(t)$, con coordinate rispettivamente $1$ e $2$ e ho confrontato le rotazioni dei punti $C$ e $D$, con lo stesso centro ($xO$,$yO$) e lo stesso angolo ($\vartheta$):
Distanze in condizioni 1
1) $d(t_1)^2=xC_1^2+yC_1^2$ (distanza $BC_1$)
2) $c(t_1)^2=(xD_1-xA_1)^2+yD_1^2$ (distanza $AD_1$)
3) $b^2=(xD_1-xC_1)^2+(yD_1-yC_1)^2$ (distanza $CD$)
Distanze in condizioni 2
4) $d(t_2)^2=xC_2^2+yC_2^2$ (distanza $BC_2$)
5) $c(t_2)^2=(xD_2-xA_2)^2+yD_2^2$ (distanza $AD_2$)
6) $b^2=(xD_2-xC_2)^2+(yD_2-yC_2)^2$ (distanza $CD$)
Coefficienti angolari segmento 1 e 2 e angolo fra di essi
7) $m_1=(yD_1-yC_1)/(xD_1-xC_1)$
8) $m_2=(yD_2-yC_2)/(xD_2-xC_2)$
9) $\vartheta=tg^(-1)((m_1-m_2)/(1+m_1m_2))$
Equazioni di rotazione intorno a $xO,yO$ , di angolo $\vartheta$, dei punti $C$ e $D$
10) $xC_2=xO+(xC_1-xO)cos(\vartheta)-(yC_1-yO)sin(\vartheta)$
11) $yC_2=yO+(xC_1-xO)sin(\vartheta)+(yC_1-yO)cos(\vartheta)$
12) $xD_2=xO+(xD_1-xO)cos(\vartheta)-(yD_1-yO)sin(\vartheta)$
13) $yD_2=yO+(xD_1-xO)sin(\vartheta)+(yD_1-yO)cos(\vartheta)$
Sono valori noti (costanti): $d(t_1),d(t_2),c(t_1),c(t_2),xA,b$
Ora, a senso logico il sistema mi pare congruente con il problema, che dite? Da quello dovrei ricavare $xO,yO$.
Ma non è lineare. Qualche consiglio per risolverlo?
Grazie
Distanze in condizioni 1
1) $d(t_1)^2=xC_1^2+yC_1^2$ (distanza $BC_1$)
2) $c(t_1)^2=(xD_1-xA_1)^2+yD_1^2$ (distanza $AD_1$)
3) $b^2=(xD_1-xC_1)^2+(yD_1-yC_1)^2$ (distanza $CD$)
Distanze in condizioni 2
4) $d(t_2)^2=xC_2^2+yC_2^2$ (distanza $BC_2$)
5) $c(t_2)^2=(xD_2-xA_2)^2+yD_2^2$ (distanza $AD_2$)
6) $b^2=(xD_2-xC_2)^2+(yD_2-yC_2)^2$ (distanza $CD$)
Coefficienti angolari segmento 1 e 2 e angolo fra di essi
7) $m_1=(yD_1-yC_1)/(xD_1-xC_1)$
8) $m_2=(yD_2-yC_2)/(xD_2-xC_2)$
9) $\vartheta=tg^(-1)((m_1-m_2)/(1+m_1m_2))$
Equazioni di rotazione intorno a $xO,yO$ , di angolo $\vartheta$, dei punti $C$ e $D$
10) $xC_2=xO+(xC_1-xO)cos(\vartheta)-(yC_1-yO)sin(\vartheta)$
11) $yC_2=yO+(xC_1-xO)sin(\vartheta)+(yC_1-yO)cos(\vartheta)$
12) $xD_2=xO+(xD_1-xO)cos(\vartheta)-(yD_1-yO)sin(\vartheta)$
13) $yD_2=yO+(xD_1-xO)sin(\vartheta)+(yD_1-yO)cos(\vartheta)$
Sono valori noti (costanti): $d(t_1),d(t_2),c(t_1),c(t_2),xA,b$
Ora, a senso logico il sistema mi pare congruente con il problema, che dite? Da quello dovrei ricavare $xO,yO$.
Ma non è lineare. Qualche consiglio per risolverlo?
Grazie
Secondo me è troppa roba così.
Riflettiamo su un fatto: se $A$ è fisso, e conosci l'equazione con cui si muove il lato $c(t)=AC$ (mi pare dicevi conoscessi la lunghezza) a causa della rigidità dei triangoli le coordinate di $C$ sono determinate univocamente e lo stesso ragionamento si applica a $D$. Poiché poi $O$ è fisso e i lati dei due triangoli sono pure essi fissi, in pratica tu conosci (anche se dipendenti da alcune incognite, cioè le coordinate di $O$) tutti i lati dei triangoli. Con un po' di conti si tirano fuori tali coordinate in funzione di $c(t)$ e $d(t)$ (che, tra l'altro, sempre per questioni di rigidità, determinano univocamente gli angoli $\alpha(t),\ \beta(t)$, per cui potresti anche usare quelli.
Guarda, ci penso un po' su a come si può scrivere in modo più "semplice" e ti faccio sapere.
Riflettiamo su un fatto: se $A$ è fisso, e conosci l'equazione con cui si muove il lato $c(t)=AC$ (mi pare dicevi conoscessi la lunghezza) a causa della rigidità dei triangoli le coordinate di $C$ sono determinate univocamente e lo stesso ragionamento si applica a $D$. Poiché poi $O$ è fisso e i lati dei due triangoli sono pure essi fissi, in pratica tu conosci (anche se dipendenti da alcune incognite, cioè le coordinate di $O$) tutti i lati dei triangoli. Con un po' di conti si tirano fuori tali coordinate in funzione di $c(t)$ e $d(t)$ (che, tra l'altro, sempre per questioni di rigidità, determinano univocamente gli angoli $\alpha(t),\ \beta(t)$, per cui potresti anche usare quelli.
Guarda, ci penso un po' su a come si può scrivere in modo più "semplice" e ti faccio sapere.
Nel problema di cinematica diretta, impostata la geometria del sistema (lati dei triangoli e coordinate di $O$) tutto è stato facile. Ho trovato la relazione $c(d(t))$ che è legata alla geometria dei triangoli. La legge sugli angoli è invece diversa, perchè essendo fissi gli angoli interni dei triangoli, c'è una proporzionalità diretta fra $\alpha$ e $\beta$: $\alpha+\beta+AOB+COD=2*\pi$.
Non conoscendo però a priori la geometria del sistema e quindi le coordinate di $O$, $C$ e $D$ non sono univocamente definiti. $c(t)$ e $d(t)$ restituiscono in pratica due circonferenze intorno rispettivamente ad $A$ e a $B$ e tu puoi trovare più di un segmento $CD$ a lunghezza fissa ($b$) che collega le due circonferenze.
Quindi ho pensato di correlare (mediante il sistema indicato) due istanti diversi e eguagliare gli angoli di rotazione di $C$ e $D$ intorno al centro di rotazione $O$.
A senso logico pare funzionare.
Si possono risparmiare volendo le due equazioni dei coefficienti angolari e introdurle nella definizione dell'angolo $\theta$.
Non conoscendo però a priori la geometria del sistema e quindi le coordinate di $O$, $C$ e $D$ non sono univocamente definiti. $c(t)$ e $d(t)$ restituiscono in pratica due circonferenze intorno rispettivamente ad $A$ e a $B$ e tu puoi trovare più di un segmento $CD$ a lunghezza fissa ($b$) che collega le due circonferenze.
Quindi ho pensato di correlare (mediante il sistema indicato) due istanti diversi e eguagliare gli angoli di rotazione di $C$ e $D$ intorno al centro di rotazione $O$.
A senso logico pare funzionare.
Si possono risparmiare volendo le due equazioni dei coefficienti angolari e introdurle nella definizione dell'angolo $\theta$.
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