Esercizio di algebra lineare, mi date una mano?
ciao a tutti! sono bloccato su questo esercizio e non riesco ad andare avanti. mi aiutate?
siano V lo spazio vettoriale complesso delle funzioni \( f\ : \ [0,2\pi] \rightarrow \mathbb{C} \) e \( W=Span \ \mathcal{B}\) con \(\mathcal{B}=\left \{ sin \ t \ , \ cos \ t \right \} \).
(i) Si dimostri che \( \mathcal{B} \) e \(\mathcal{B'}=\left \{ e^{it} \ , e^{-it} \right \}\) sono basi di W e si determinino le matrici dei cambiamenti di base da \( \mathcal{B} \) a \( \mathcal{B'} \) e da \( \mathcal{B'} \) a \(\mathcal{B} \).
(ii) Si verifichi che l'applicazione linerare \( V \ : \ W\rightarrow W \ , \ Tf(t)\ = \ f''(t)+f'(t)+f(-t) \) è ben definita e si determini la sua matrice di rappresentazione rispetto alla base \(\mathcal{B'}\).
(iii) Si determinino gli autovalori di T e si dica se T è diagonalizzabile.
allora, io il punto (i) ne ho fatto un pezzo ma non sono sicuro al 100% e vorrei che voi di deste una mano nel risolvere anche gli altri due punti.
cosa ho fatto:
per essere basi devo essere linearmente indipendenti quindi vado a verificare appunto questa caratteristica:
\(\alpha sin \ t +\beta cos \ t =0 \) con le formule di neplero \( \alpha \frac{1}{2} ie^{-it}-\alpha\frac{1}{2}ie^{it}+\beta\frac{1}{2}e^{-it}+\beta\frac{1}{2}e^{it}=0 \)
\(\frac{e^{-it}}{2}(\alpha i +\beta) +\frac{e^{it}}{2}(-\alpha i +\beta)=0 \) da qui ottengo che $ { ( \beta=-\alpha i ),( -2\alpha i=0 ):} $ quindi \(\alpha=\beta=0\) quindi è linearmente indipendente.
ora procedo con lo stesso ragionamento con \(\mathcal{B'}\):
\(\alpha e^{it}+\beta e^{-it}=0 \ \rightarrow \ \alpha +\beta e^{-2it}=0 \rightarrow \alpha =0 \) per t che tende ad infinito: \(\beta e^{-2it}=0 \rightarrow \beta=0\) quindi anche \(\mathcal{B'}\) è linearmente indipendente.
ora devo trovare la matrice del cambiamento di base \( M_{\mathcal{B}\rightarrow\mathcal{B'}}\) e mi blocco da qui in poi, non perchè non sia capace a trovare una matrice del cambiamento di base ma perchè non ho mai fatto nulla di simile! quindi per favore datemi una mano.
siano V lo spazio vettoriale complesso delle funzioni \( f\ : \ [0,2\pi] \rightarrow \mathbb{C} \) e \( W=Span \ \mathcal{B}\) con \(\mathcal{B}=\left \{ sin \ t \ , \ cos \ t \right \} \).
(i) Si dimostri che \( \mathcal{B} \) e \(\mathcal{B'}=\left \{ e^{it} \ , e^{-it} \right \}\) sono basi di W e si determinino le matrici dei cambiamenti di base da \( \mathcal{B} \) a \( \mathcal{B'} \) e da \( \mathcal{B'} \) a \(\mathcal{B} \).
(ii) Si verifichi che l'applicazione linerare \( V \ : \ W\rightarrow W \ , \ Tf(t)\ = \ f''(t)+f'(t)+f(-t) \) è ben definita e si determini la sua matrice di rappresentazione rispetto alla base \(\mathcal{B'}\).
(iii) Si determinino gli autovalori di T e si dica se T è diagonalizzabile.
allora, io il punto (i) ne ho fatto un pezzo ma non sono sicuro al 100% e vorrei che voi di deste una mano nel risolvere anche gli altri due punti.
cosa ho fatto:
per essere basi devo essere linearmente indipendenti quindi vado a verificare appunto questa caratteristica:
\(\alpha sin \ t +\beta cos \ t =0 \) con le formule di neplero \( \alpha \frac{1}{2} ie^{-it}-\alpha\frac{1}{2}ie^{it}+\beta\frac{1}{2}e^{-it}+\beta\frac{1}{2}e^{it}=0 \)
\(\frac{e^{-it}}{2}(\alpha i +\beta) +\frac{e^{it}}{2}(-\alpha i +\beta)=0 \) da qui ottengo che $ { ( \beta=-\alpha i ),( -2\alpha i=0 ):} $ quindi \(\alpha=\beta=0\) quindi è linearmente indipendente.
ora procedo con lo stesso ragionamento con \(\mathcal{B'}\):
\(\alpha e^{it}+\beta e^{-it}=0 \ \rightarrow \ \alpha +\beta e^{-2it}=0 \rightarrow \alpha =0 \) per t che tende ad infinito: \(\beta e^{-2it}=0 \rightarrow \beta=0\) quindi anche \(\mathcal{B'}\) è linearmente indipendente.
ora devo trovare la matrice del cambiamento di base \( M_{\mathcal{B}\rightarrow\mathcal{B'}}\) e mi blocco da qui in poi, non perchè non sia capace a trovare una matrice del cambiamento di base ma perchè non ho mai fatto nulla di simile! quindi per favore datemi una mano.
Risposte
Nello svolgimento del primo punto hai usato le formule di Eulero per seno e coseno: ovviamente
$$e^{it}=\cos t+i\sin t,\qquad e^{-it}=\cos t-i\sin t$$
da cui puoi ricavare subito che
$$\left(\begin{array}{c} e^{it}\\ e^{-it}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & i\\ 1 & -i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \cos t\\ \sin t\end{array}\right)$$
che permette di determinare la matrice cercata.
Se questo è chiaro possiamo andare avanti.
$$e^{it}=\cos t+i\sin t,\qquad e^{-it}=\cos t-i\sin t$$
da cui puoi ricavare subito che
$$\left(\begin{array}{c} e^{it}\\ e^{-it}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & i\\ 1 & -i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \cos t\\ \sin t\end{array}\right)$$
che permette di determinare la matrice cercata.
Se questo è chiaro possiamo andare avanti.
"ciampax":
Nello svolgimento del primo punto hai usato le formule di Eulero per seno e coseno: ovviamente
$$e^{it}=\cos t+i\sin t,\qquad e^{-it}=\cos t-i\sin t$$
da cui puoi ricavare subito che
$$\left(\begin{array}{c} e^{it}\\ e^{-it}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & i\\ 1 & -i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \cos t\\ \sin t\end{array}\right)$$
che permette di determinare la matrice cercata.
Se questo è chiaro possiamo andare avanti.
grazie!! si procediamo!
Per il punto ii) non hai nessuna idea?
"ciampax":
Per il punto ii) non hai nessuna idea?
ciao ciampax.. scusa ma sono stato poco bene...
quindi ricapitolando, l matrice di cambiamento di base da \(\mathcal{B}\) a \(\mathcal{B'}\) è \( \begin{pmatrix} 1 & i \\ 1 & -i \end{pmatrix} \) e poi bisogna trovare la sua inversa per trovare la matrice di cambiamento di base da \(\mathcal{B'}\) a \(\mathcal{B}\). (giusto?)
ora, devo vedere se l'app è ben definita e per farlo devo verificare che ad ogni elemento del dominio corrispondi uno e uno solo del codominio. (e la risposta per me è si) perchè \(f \ : \ \left [ 0, 2\pi \right ] \ \rightarrow \mathbb{C}\).
per trovare la matrice di rappresentazione mi blocco, nel senso che inserisco \(\mathcal{B'}\) nell'app.
\( T\ f_1 =-e^{it}+ie^{it}+e^{-it} \)
\( T\ f_2 =-e^{-it}-ie^{it}+e^{it} \)
e bom... mi aiuti?
Ciao, scusami, anche io ho avuto da fare. Allora, sì, le matrici di cambiamento di base le determini come hai detto.
Ora, per quanto riguarda il punto ii), osserva che $W$ contiene funzioni di classe $C^\infty$ in quanto esse sono tutte le funzioni della forma
$$f(t)=a\sin t+b\cos t,\qquad a,b\in\mathbb{C}$$
Pertanto $T$ è ben definita poiché puoi calcolare le derivate. Inoltre poiché $t\in[0,2\pi]$ e le funzioni che generano $W$ sono periodiche, se tu consideri $f(-t)$ dovresti avere che $-t\in[-2\pi,0]$, ma tale intervallo, per periodicità, lo puoi traslare in quello di partenza e quindi non costituisce problemi. Pertanto l'operatore è ben definito.
Ber determinare la sua base rispetto alla base con gli esponenziali, considera che in tale base
$$f(t)=a e^{it}+b e^{-it},\qquad a,b\in\mathbb{C}$$
pertanto
$$T(e^{it})=i^2 e^{it}+i e^{it}+e^{-it}=(i-1)e^{it}+e^{-it}$$
$$T(e^{-it})=(-i)^2 e^{-it}-i e^{-it}+e^{it}=e^{it}+(-1-i)e^{-it}$$
e pertanto (ricorda che si prende la trasposta dei coefficienti) la matrice cercata è
$$M=\left(\begin{array}{cc}
-1+i & 1\\ 1 & -1-i
\end{array}\right)$$
Dimmi se è chiaro e poi proseguiamo.
Ora, per quanto riguarda il punto ii), osserva che $W$ contiene funzioni di classe $C^\infty$ in quanto esse sono tutte le funzioni della forma
$$f(t)=a\sin t+b\cos t,\qquad a,b\in\mathbb{C}$$
Pertanto $T$ è ben definita poiché puoi calcolare le derivate. Inoltre poiché $t\in[0,2\pi]$ e le funzioni che generano $W$ sono periodiche, se tu consideri $f(-t)$ dovresti avere che $-t\in[-2\pi,0]$, ma tale intervallo, per periodicità, lo puoi traslare in quello di partenza e quindi non costituisce problemi. Pertanto l'operatore è ben definito.
Ber determinare la sua base rispetto alla base con gli esponenziali, considera che in tale base
$$f(t)=a e^{it}+b e^{-it},\qquad a,b\in\mathbb{C}$$
pertanto
$$T(e^{it})=i^2 e^{it}+i e^{it}+e^{-it}=(i-1)e^{it}+e^{-it}$$
$$T(e^{-it})=(-i)^2 e^{-it}-i e^{-it}+e^{it}=e^{it}+(-1-i)e^{-it}$$
e pertanto (ricorda che si prende la trasposta dei coefficienti) la matrice cercata è
$$M=\left(\begin{array}{cc}
-1+i & 1\\ 1 & -1-i
\end{array}\right)$$
Dimmi se è chiaro e poi proseguiamo.
"ciampax":
Ciao, scusami, anche io ho avuto da fare. Allora, sì, le matrici di cambiamento di base le determini come hai detto.
Ora, per quanto riguarda il punto ii), osserva che $W$ contiene funzioni di classe $C^\infty$ in quanto esse sono tutte le funzioni della forma
$$f(t)=a\sin t+b\cos t,\qquad a,b\in\mathbb{C}$$
Pertanto $T$ è ben definita poiché puoi calcolare le derivate. Inoltre poiché $t\in[0,2\pi]$ e le funzioni che generano $W$ sono periodiche, se tu consideri $f(-t)$ dovresti avere che $-t\in[-2\pi,0]$, ma tale intervallo, per periodicità, lo puoi traslare in quello di partenza e quindi non costituisce problemi. Pertanto l'operatore è ben definito.
Ber determinare la sua base rispetto alla base con gli esponenziali, considera che in tale base
$$f(t)=a e^{it}+b e^{-it},\qquad a,b\in\mathbb{C}$$
pertanto
$$T(e^{it})=i^2 e^{it}+i e^{it}+e^{-it}=(i-1)e^{it}+e^{-it}$$
$$T(e^{-it})=(-i)^2 e^{-it}-i e^{-it}+e^{it}=e^{it}+(-1-i)e^{-it}$$
e pertanto (ricorda che si prende la trasposta dei coefficienti) la matrice cercata è
$$M=\left(\begin{array}{cc}
-1+i & 1\\ 1 & -1-i
\end{array}\right)$$
Dimmi se è chiaro e poi proseguiamo.
chiarissimo!!!
L'ultimo punto mi pare abbastanza semplice: per calcolare gli autovalori puoi utilizzare l'ultima matrice scritta o, equivalentemente, andare a calcolare la matrice di rappresentazione rispetto alla base con seno e coseno. Fatto questo, stabilire se l'operatore è diagonalizzabile non dovrebbe essere difficile.
"ciampax":
L'ultimo punto mi pare abbastanza semplice: per calcolare gli autovalori puoi utilizzare l'ultima matrice scritta o, equivalentemente, andare a calcolare la matrice di rappresentazione rispetto alla base con seno e coseno. Fatto questo, stabilire se l'operatore è diagonalizzabile non dovrebbe essere difficile.
sisi chiaro tutto!! grazie mille...
senti avresti voglia di dare un'occhio a quest'altro esercizio? viewtopic.php?f=37&t=138966
percò
è non mi è chiara la definizione di prodotto scalare e come lo devo applicare ai fini dell'esercizio
Sostanzialmente ti hanno detto tutto: l'operatore aggiunto di quello dato è definito dalla condizione
$$(L_\alpha^* f,g)=(f,L_\alpha g)=\int_0^1\overline{f(x)}\cdot L_\alpha(g)(x)\ dx=\int_0^1\overline{f(x)}\cdot\left[g'(x)+(1+\alpha x) g''(x)\right]\ dx$$
A questo devi solo effettuare un po' di conti, cercando di riscrivere quell'integrale nella forma seguente
$$\int_0^1 H(f)\cdot g(x)\ dx$$
(devi, in praticare, fare in modo che la $g$ non appaia più con le derivate). La quantità $H(f)$ rappresenta proprio il tuo operatore aggiunto. Per determinare quando esso è autoaggiunto, deve verificarsi che $L_\alpha^*=L_\alpha$.
$$(L_\alpha^* f,g)=(f,L_\alpha g)=\int_0^1\overline{f(x)}\cdot L_\alpha(g)(x)\ dx=\int_0^1\overline{f(x)}\cdot\left[g'(x)+(1+\alpha x) g''(x)\right]\ dx$$
A questo devi solo effettuare un po' di conti, cercando di riscrivere quell'integrale nella forma seguente
$$\int_0^1 H(f)\cdot g(x)\ dx$$
(devi, in praticare, fare in modo che la $g$ non appaia più con le derivate). La quantità $H(f)$ rappresenta proprio il tuo operatore aggiunto. Per determinare quando esso è autoaggiunto, deve verificarsi che $L_\alpha^*=L_\alpha$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo