Mia dimostrazione formula Grassman
Ragazzi perdonatemi se posto spesso ma ho un esame a breve..e poi voi siete fantastici. Vengo al dunque ,ho provato a dimostrare questa formula e visto che dopo averlo fatto ho visto altrove che la dimostrazione viene fatta in modo diverso(senz'altro meglio di come l 'ho fatta io ) volevo sapere se la mia versione é corretta.
\(\displaystyle dimU + dimW =\) $dim (U nn W) + dim (U + W)$
Prendo base $U ={vec u_1 ,...., vec u_n}$ e base $ W={vec w_1 ,..., vec w_m}$
$dim U=n ,dim W=m => dim U + dim W = n+m.$
$(U+W) = span{vec u_1 ,..., vec u_n , vec w_1 ,...., vec w_m}$ composto da $n+m$ vettori. Prendendo solo i vettori linearmente indipendenti avremo una base di $(U+W)$ di dimensione diversa da $n+m$ ,diremo $dim (U+W)=s$
I vettori linearmente dipendenti dello $span{vec u_1 ,..., vec u_n , vec w_1 ,...., vec w_m}$ saranno tra loro linearmente indipendenti, questo perché $span{vec u_1 ,..., vec u_n , vec w_1 ,...., vec w_m}$ é somma di due basi.
Questi vettori allora formeranno la base di $(U nn W)$ con $dim(U nn W)=n+m-s$
Quindi \(\displaystyle dimU + dimW =\) $dim (U nn W) + dim (U + W)$ $=>$ $n+m=(n+m-s) +s => n+m=n+m$
[*] nel caso in cui i vettori già sono linearmente indipendenti avremo che $(U nn W) ={0}$
\(\displaystyle dimU + dimW =\) $dim (U nn W) + dim (U + W)$
Prendo base $U ={vec u_1 ,...., vec u_n}$ e base $ W={vec w_1 ,..., vec w_m}$
$dim U=n ,dim W=m => dim U + dim W = n+m.$
$(U+W) = span{vec u_1 ,..., vec u_n , vec w_1 ,...., vec w_m}$ composto da $n+m$ vettori.
Questi vettori allora formeranno la base di $(U nn W)$ con $dim(U nn W)=n+m-s$
Quindi \(\displaystyle dimU + dimW =\) $dim (U nn W) + dim (U + W)$ $=>$ $n+m=(n+m-s) +s => n+m=n+m$
[*] nel caso in cui i vettori già sono linearmente indipendenti avremo che $(U nn W) ={0}$
Risposte
La nota [*] (è corretta ma) non è banale!
"Cuppls":e non "solo i"; poi la frase successiva è ripetitiva?
...Prendendo dei vettori linearmente indipendenti avremo una base di $(U+W)$...
Ti ringrazio per la risposta.
Si mi sono reso conto che non era banale e l'ho aggiunta. La frase suvvessiva non è ripetitiva.. dico che i vettori "avanzati" sono tra loro linearmente indipendenti e formano l intersezione. Il resto (e comunqur in generale ) è corretta concettualmente ?
Si mi sono reso conto che non era banale e l'ho aggiunta. La frase suvvessiva non è ripetitiva.. dico che i vettori "avanzati" sono tra loro linearmente indipendenti e formano l intersezione. Il resto (e comunqur in generale ) è corretta concettualmente ?
"Cuppls":Nulla di più falso!
...dico che i vettori "avanzati" sono tra loro linearmente indipendenti e formano l intersezione...
Sei arrivato a dimostrare che:
\[
\dim X+\dim Y\geq\dim(X+Y)
\]
e ti resta da ragionare su \(\displaystyle\dim(X\cap Y)\)...
È sbagliato che no formano l 'intersezione? Mi daresti un input? Solo un piccolo suggerimento su cone proseguire...grazie 
Cerco di instradarti: supponi che
\[
span(v_1,...,v_n)\cap span(w_1,...,w_m)=\{\underline0\}
\]
che cosa avviene nel considerare le dimensioni?
\[
span(v_1,...,v_n)\cap span(w_1,...,w_m)=\{\underline0\}
\]
che cosa avviene nel considerare le dimensioni?
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