Principio di induzione ??
Stavo provando a dimostrare $ 2^n >= 2n $ attraverso il principio di induzione
quindi:
- $ 2^0 >= 2*0 $ che è vera in quanto $ 1 > 0 $
Poi do per vera $ 2^n >= 2n $ e dimostro $ 2^(n+1) >= 2(n+1) $ e risolvendo ottengo $ 2^n * 2 >= 2n+2 $
e ora? come procedo?
cioè potrei dividere per 2 sia a destra che a sinistra ottenendo $ 2^n >= n+1 $ ma non mi sembra un gran risultato
quindi:
- $ 2^0 >= 2*0 $ che è vera in quanto $ 1 > 0 $
Poi do per vera $ 2^n >= 2n $ e dimostro $ 2^(n+1) >= 2(n+1) $ e risolvendo ottengo $ 2^n * 2 >= 2n+2 $
e ora? come procedo?
cioè potrei dividere per 2 sia a destra che a sinistra ottenendo $ 2^n >= n+1 $ ma non mi sembra un gran risultato
Risposte
Il teorema è certamente vero per n=0,n=1. Supposto che la cosa risulti vera per un certo n (>1), dimostriamo essere vera anche per $n+1$. Difatti si ha :
$2^{n+1}=2\cdot 2^n>2\cdot 2n=4n=2n+2n>2n+2=2(n+1)$
Dunque è pure: $2^{n+1}>2(n+1)$
Q.E.D.
$2^{n+1}=2\cdot 2^n>2\cdot 2n=4n=2n+2n>2n+2=2(n+1)$
Dunque è pure: $2^{n+1}>2(n+1)$
Q.E.D.
Ciao, do per scontato che tu intenda $n in NN$, perché altrimenti è falso.
Se invece $n in NN$ allora ci sei! Infatti quando ottieni \[2^n \geq n+1\] puoi dire che \[2n \geq n+1 \quad \forall n\in\mathbb{N} \left|\right. n \geq 1\] Quindi puoi scrivere \[2^n \geq 2n \geq n+1\] dove la seconda disequazione è vera per quanto abbiamo appena detto, mentre la prima è vera per l'assunzione $2^n >= 2n$. Quindi la dimostrazione è completa.
Se invece $n in NN$ allora ci sei! Infatti quando ottieni \[2^n \geq n+1\] puoi dire che \[2n \geq n+1 \quad \forall n\in\mathbb{N} \left|\right. n \geq 1\] Quindi puoi scrivere \[2^n \geq 2n \geq n+1\] dove la seconda disequazione è vera per quanto abbiamo appena detto, mentre la prima è vera per l'assunzione $2^n >= 2n$. Quindi la dimostrazione è completa.
grazie mille a entrambi 
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