Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve,
Sui miei appunti ho una dimostrazione, del fatto esposto nel titolo, che non riesco a capire bene.
Questa è la dimostrazione:
"Consideriamo il piano cartesiano. Sia $\mathbb{R}$, in questo caso, rappresentato dall'asse delle ascisse.
Sia $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ un sistema fondamentale di intorni numerabile di $\mathbb{R}$, in $\mathbb{R}^2$, per assurdo (cioè, comunque fisso un intorno di $(x,0)$, in $\mathbb{R}^2$, ($\forall x \in \mathbb{R}$), questo conterrà per qualche ...
ciao a tutti,
sapete se è possibile calcolare il determinante o il rango di una matrice con derive? se si come?
grazie mille
Qualcuno può spiegarmi il vantaggio di questa proposizione :
Sia assegnato un sistema di m equazioni in n incognite non omogeneo e compatibile.Tutte le soluzioni del sistema si ottengono sommando a una sua soluzione tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato.
La dimostrazione di tale proposizione termina dicendo:
La proposizione ora provata risolve il problema che avevamo posto circa l'incombenza di dover applicare la regola di Cramer molte volte per trovare le soluzioni del sistema ...
Salve a tutti,
Vi volevo chiedere un chiarimento su questo esercizio.
1. Trovare una base del sottospazio di $RR^4$ così definito $V={(x,y,z,t) in RR^4 | x-y=0, t=0}$.
Sia $f$ l'endomorfismo di $RR^4$ t.c. $M^\epsilon = ((1,1,-1,0),(2,0,-1,1), (1,a,2,3), (b,0,0,1))$.
Trovare valori dei parametri reali a,b per i quali f induce un endomorfismo di V e determinare $M^b (f_(|V))$.
Discutere la semplicità di $f_(|V)$.
Il sottospazio $V$ si può indicare come $V={(a,a,b,0)|a,b in RR}$ e la base sarebbe ...
Salve a tutti,
ho un piccolo dubbio che non riesco a risolvere.
sulle dispense ho letto che e dimostrato che la dimensione del Linear span(non ho trovato il simbolo) delle righe di una matrice A, è = alla Dimensione del Linear Span delle colonne di A. Inoltre il Rk(A)=alla dimensione. Giusto?
Però in seguito il teorema "nullità più rango" asserisce che la dimA in un sistema omogeneo, = numero incognite - rk(A). E quindi qualcosa non torna. Dove ho sbagliato?
Es.
A = ...
Buonasera
Svolgendo degli esercizi sulle forme quadratiche (tratti dalle slide usate dal professore durante le esercitazioni), mi sono imbattuto nel seguente quesito:
Data la matrice $ A = ( ( 4 , 5 ),( 5 , 4 ) ) $, dire se esiste un vettore $ x in R^2 $ tale che $ x^tAx < 0 $.
Naturalmente, ho subito associato il quesito all'esistenza di una forma quadratica definita negativa e rappresentata dalla matrice assegnata; dunque, ho determinato la sua segnatura tramite ...
Ciao ragazzi,
volevo chiedere se potreste darmi una mano a dimostrare questo semplice enunciato che ho trovato nel libro di testo:
" Se U è un sottospazio vettoriale di V e diverso da V stesso, allora esiste una base di V fatta tutta da generatori che non appartengono a U."
Immagino sia una cosa banale, ma sono alle prime armi con algebra lineare
Vi ringrazio anticipatamente
Ciao,
Data la matrice $A = ((2,1,-1),(0,-2,0),(-1,0,1))$
Ho sfruttato le regole per il calcolo degli autovalori e quindi ho risolto:
$det ((2-c,1,-1),(0,-2-c,0),(-1,0,1-c)) = 0$ $=> (-2-c)*det(A_22) = 0 $ $=> (-2-c)*[(2-c)*(1-c) -1] = 0 $
$ => c_1 = -2, c_2 = {3 + sqrt 5} / 2, c_3 = {3 - sqrt 5} / 2 $
Ora per l'autovalore $c_1$ trovo facilmente degli autovettori che sono nella forma $ w((3), (-11), (1)) $ e facendo la verifica ho visto che è corretto, mentre per gli autovettori di $c_2$ e $c_3$ ho un pò di problemi:
Ad esempio per trovare l'autovettore di ...
Ciao a tutti! Studiando meccanica delle vibrazioni a ingegneria mi sono posto il seguente problema:quando si scrivono le equazioni di moto del sistema si ottiene un equazione differenziale. Essa è lineare se e solo se la molla e lo smorzatore hanno un comportamento lineare.(forza elastica direttamente proporzionale allo spostamento e quella viscosa dirett.prop alla velocità).Se l'equazione è lineare allora vale il principio di sovrapposizione degli effetti, chiaramente molto utile.
a questo ...
Buonasera a tutti. Vorrei sottoporvi un dubbio riguardante la traccia anzi la notazione di un esercizio riguardante il prodotto scalare. L'esercizio richiede questo:
Dati i vettori $x=(1;2;0)$ e$ y=(1; 2; -1)$ ( Preciso che sono entrambi vettori colonna e non riga come erroneamente scritto.purtroppo non sono riuscito a trovare la formula per scrivere i vettori).
Calcolare $||x+y||$ e $<x-y , y>$.
Dunque nel primo esercizio mi richiede di calcolare la norma del nuovo ...
Salve ragazzi chiedo il vostro aiuto per capire cosa sbaglio nel trovare la base e la dimensione di un sottospazio dato dall'esercizio
$ U={(x,y,z,t) in RR^4 : x+y-2z-t=0 , y-z-t=0, x-z=0} $
Il risultato che mi dà il prof è:
$ dim(U)= 2, una base è [(1,0,1,-1) , (0, 1, 0, 1)] $
Io con il risultato della dimensione mi trovo, è con la base che non mi trovo, a me viene $ [(-3,1,1,0), (-2,1,0,1)] $ non gli si avvicina neanche xD
e pure penso di aver fatto bene, perchè:
Ho scritto il sistema omogeneo;
Scritto la matrice $((1,1,-2,-1),(0,1,-1,-1),(1,0,-1,0))$
Dalla quale ho eliminato la terza riga ...
Ciao a tutti, all'università per vedere , fra un insieme di vettori, quali di loro sono linearmente indipendenti ci hanno insegnato a metterli per colonna in una matrice , applicare il Metodo di Gauss e prendere i vettori aventi i pivot su quella colonna.
Fin qui tutto ok, quello che non ho capito è il motivo cioè perchè proprio le colonne con i pivot corrispondono ai vettori linearmente indipendenti?
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità
Ho studiato la parte di teoria, ma non capisco come fare gli esercizi perchè nei temi di esame degli anni passati che mi sono stati forniti si parla di span di un spazio vettoriale e noi a lezione non abbiamo usato questa termilogia.. Ho cercato un po' in rete e non mi sembra nulla di difficile: tutte le possibili combinazioni lineari dei vettori dello span.
Il problema è il seguente:
Nello spazio $R^3$ , munito del prodotto interno euclideo, si determini l’elemento in ...
Ciao a tutti , ho il seguente esercizio:
"Le coordinate di $v ∈ R3$ nella base $v1 = (1, 2, 1)$, $v2 = (2, 1, 2)$, $v3 = (1, 1, 2)$ sono $3$,$4$, $−2$.
Quali sono le coordinate di $v$ nella base canonica?"
Io l'ho svolto nel seguente modo:
devo prima trovare il vettore v in quella base e l'ho calcolato nel seguente modo
$ 3 * ((1),(2),(1)) + 4 * ((2),(1),(2)) - 2* ((1),(1),(2)) = ((x),(y),(z))$
$((3),(6),(3)) + ((8),(4),(8)) + ((-2),(-2),(-4)) = ((x),(y),(z))$
$((9),(8),(7))$
quindi quest'ultimo è proprio il vettore e le ...
Come si diagonalizza una matrice simmetrica nxn? ... come si trovano gli autovalori di un polinomio di grado n in questo caso?
Vi sottopongo un esercizio su cui mi sono s-cervellata un po' ma che non sono riuscita a risolvere.
Siano $p$ e $q$ numeri reali positivi tali che $p^(-1)+q^(-1) = 1$. Si provi che, dati due numeri reali positivi $x$ e $y$, risulta $xy <= p^(-1)x^p + q^(-1)y^q$.
Suggerimento:
Il problema si trova nel capitolo su norme e prodotti interni, dopo le definizioni e la disuguaglianza di cauchy. Quindi credo si debba usare quella oppure la disuguaglianza ...
Ciao! Una domanda penso semplice per chi fa matematica...riguarda il calcolo delle coordinate di un vettore rispetto ad una base diversa dalla canonica..ad esempio.. consideriamo uno spazio vettoriale bidimensionale..la base canonica sarebbe data dai vettori (1,0) e (0,1)...ora se ho un vettore ad esempio (2,2) rispetto a tale base canonica esso ha coordinate (2,2) per def. di base canonica. Ora se io ad esempio volessi le coorinate dello stesso vettore rispetto alla base (1,1), (-1,1) saprei ...
Salve a tutti.
Sto impazzendo dietro la definizione di funzione propria. Sugli appunti ho questa:
DEF: Una applicazione $f:X\rightarrow Y$ tra spazi topologici si dice propria se $\forall K\subseteq Y$ compatto, $f^-1(K)$ risulta compatto.
La conferma di questa definizione la trovo qua: http://en.wikipedia.org/wiki/Proper_map
Sul libro (Manetti pag. 77) ho quest'altra:
DEF: Una applicazione continua $f:Y\rightarrow Z$ tra due spazi topologici si dice propria se per ogni compatto $K\subset Z$ la sua ...
Ciao a tutti,
Vorrei capire se c'è un metodo standard piuttosto furbo per determinare esattamente QUALI righe/colonne di una matrice (di qualunque dimensione) sono linearmente dipendenti.
Il rango mi da solo un'informazione generale, da esso posso capire se la matrice è composta o meno da righe/colonne linearmente indipendenti. A me interessa trovare esattamente quali righe/colonne sono linearmente dipendenti.
Io uso il seguente metodo che è comodo per matrici piccole:
data la matrice ...
Salve,
Ho questa matrice:
$M = ((1,2,5),(0,1,2),(1,0,3))$
e voglio trovare il nucleo e il rango della trasformazione lineare $R^3 -> R^3$ rappresentata rispetto alla base canonica della matrice $M$.
Ora ho ragionato così:
Il rango di M ($Rk(M)$) dovrebbe essere uguale alla dimensione dell'immagine della trasformazione lineare ($dim(Im(T))$) che è uguale al numero di Pivot della matrice $M$ ridotta con Gauss.
Quindi ho ridotto $M$ con Gauss e mi ...
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