Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve,
Ho questa matrice:
$M = ((1,2,5),(0,1,2),(1,0,3))$
e voglio trovare il nucleo e il rango della trasformazione lineare $R^3 -> R^3$ rappresentata rispetto alla base canonica della matrice $M$.
Ora ho ragionato così:
Il rango di M ($Rk(M)$) dovrebbe essere uguale alla dimensione dell'immagine della trasformazione lineare ($dim(Im(T))$) che è uguale al numero di Pivot della matrice $M$ ridotta con Gauss.
Quindi ho ridotto $M$ con Gauss e mi ...
salve ragazzi
Assegnato l’endomorfismo:
$ f_h : (x, y, z) ∈ R<br />
3 −→<br />
2x−y, hx+(3−h)y+hz, y+2z ∈ R^3 , h ∈ R . $
Determinare gli autovalori di f h e i valori di h tali che
f h sia diagonalizzabile.
RISPOSTA: Gli autovalori sono
$k_1$ = 2 e $k_2$ = 3 − h. f h `e diagonalizzabile per h = 0.
per gli autovalori mi trovo con la risposta, mentre per quanto riguarda il valore h, mi viene 1 anzichè 0, ma vi posto il mio svolgimento.
ecco la matrice per calcolarmi il polinomio caratteristico
$ [ ( 2-alpha , -1 , 0 ),( h , 3-h-alpha , h ),( 0 , 1 , 2-alpha ) ] $
le radici ...
Sia $M$ una varietà differenziabile di dimensione $m$ e sia $S$ una sottovarietà di $M$ della stessa dimensione $m$.
Cosa posso dire allora su $S$?
Ho provato a dimostrare che $S$ è aperta.
La mia idea era quella di usare il teorema della funzione inversa all'inclusione $i:M \rightarrow S$.
Però da qui non so come andare avanti. Come potrei procedere? Grazie per l'aiuto!
"Date due particelle di massa $m_1$ e $m_2$ che si trovano nei punti $P_1$ e $P_2$ ed i loro vettori posizione $\vec r_1$ ed $\vec r_2$, il loro centro di massa è definito come il punto $C$ che ha per vettore posizione:
$\vec r_C = (m_1\vec r_1 + m_2\vec r_2) / (m_1 + m_2)$.
Dimostrare che $C$ appartiene al segmento $P_1P_2$.
Per completare la formulazione matematica del problema bisogna specificare, cosa ovvia in fisica, che ...
Buongiorno!!
Vi spiego il problema: a lezione ho un'iniziato un corso di chimica-fisica che dedica una buona parte introduttiva alla teoria dei gruppi, dal momento che molte molecole hanno una geometria riconducibile a quella di varie figure/solidi geometrici come quella tetraedrica,trigonale planare,ottaedrica ecc... e perciò la loro simmetria risponde a quella di queste geometrie.
In particolare quindi sto affrontando i gruppi punto come ad esempio $ C_(2v),C_(3v),D_(2h),D_(3h)... $
Ora so che per ...
Ciao a tutti
Recentemente ho fatto un esercizio dove mi veniva chiesto di determinare una base di autovettori del dominio (o, indifferentemente, del codominio) di un endomorfismo. Il procedimento, secondo la soluzione guidata del libro di riferimento, consiste nel trovare prima le basi degli autospazi riferiti ai vari autovalori dell'endomorfismo, poi, semplicemente, afferma che l'unione di tali basi costituisce una base di autovettori dell'endomorfismo.
Questo in qualche modo significa ...
Sia $X=\{(x,y,z,t) | x^2+6y^2+4z^2+t^2=1 \}$.
Ho provato che questa è una varietà differenziabile di dimensione $3$. Devo provare che $X$ è connesso e compatto.
Come potrei procedere?
La mia idea, pensando in dimensione $2$ all'ellissoide, era di provare che $X$ è omeomorfo alla sfera $S^3$.
Il mio candadato omeomorfismo è $$\varphi: S^3 \rightarrow X$$
$$ (x,y,z,t) \rightarrow ...
Ciao
Ho un piccolo dubbio in merito alla composizione della matrice $ A $ rappresentativa di un certo endomorfismo $ L $ fale che ,ad esempio: $ L:R^3->R^3 $
per semplicità consideriamo rispetto alla base canonica $ E=(vece_1,vece_2,vece_3) $
In pratica per scrivere questa benedetta matrice rappresentativa dovrei verificare l'effetto che si ottiene applicando l'applicazione su ogni vettore della base canonica...
Ipotizziamo dunque che l'applicazione lineare ...
Buongiorno. Qualcuno potrebbe dirmi se esistono differenze sostanziali tra il prodotto fra tensori e il prodotto tensoriale, se si considerano gli spazi vettoriali tra cui è definito il prodotto tensoriale come tensori sul campo di definizione?
Qualcuno può spiegarmi la differenza in modo semplice e chiaro (magari con un esempio) tra prodotto scalare standard e prodotto scalare ?
So che il prodotto scalare standard è la funzione:
$ < > : R^n * R^n rarr R $
mentre nulla trovo sul mio libro riguardo il prodotto scalare non euclideo
Non mi è chiara una parte della dimostrazione di tale proposizione :
Sia $V_n$ uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare $s$
definito positivo. Se $e_1, e_2,…, e_t$ sono $t$ $(1 ≤ t < n )$ vettori non nulli e a due a due ortogonali è
possibile determinare un vettore non nullo $e_(t+1)$ ortogonale ai vettori $e_1, e_2,…, e_t$ .
Dimostrazione
Sia $w_(t+1)$ un vettore non appartenente al sottospazio ...
Il mio dubbio riguarda le matrici associate alle applicazioni lineari quando le basi di partenza e arrivo sono entrambe diverse da quelle canoniche
Ad esempio se ho un esercizio del genere:
Sia $T:R3→R3$ l'applicazione lineare definita da :
$T(x,y,z)=(2x,y,0)$
determinare la matrice $A$ associata a $T$ rispetto alla base $B={(1,0,1),(0,1,−1),(1,1,−1)}$ dello spazio di partenza e alla base canonica $E$ dello spazio di arrivo
Allora facilmente svolgo cosi ...
Ciao, sto seguendo un corso di geometria differenziale e vorrei prendere un libro che completi gli appunti presi a lezione.
Non sto a copiare tutto il programma perchè verrebbe una pagina lunghissima, però potete trovarlo qui: LINK
Cosa mi consigliate?
Grazie mille!
Salve a tutti
Se ho una certa applicazione lineare $T:RR^4=>RR^3$, mi trovo una base di $Im(T)={w_1=(1,0,1), w_2=(-2,1,0)}$, è corretto trovarmi un sottospazio $U in RR^3$ tale che sia in somma diretta con $Im(T)$, semplicemente trovando un vettore linearmente indipendente con $w_1, w_2$?
Ad esempio $w_3=(0,1,1)$
Per dimostrare l'indipendenza lineare posso formare una matrice con $w_1, w_2, w_3$ e calcolare il determinante che dovrà essere $!=0$
$|(1,-2,0),(0,1,1),(1,0,1)|!=0$
Salve spero che mi possiate sciogliere il seguente dubbio venutomi con questa matrice:
$ ( ( k , -5 , k-1 ),( 1 , k, 3 ),( 0 , 2 , 1 ) ) $
1° Caso: (Faccio uso del teorema di Kronecker)
-Calcolo il determinante della marice $ | 1 | $ ( quello nella terza riga e terza colonna ) ovviamente $ det!= 0 $ .
-Calcolo il determinante del suo orlante $ |( k , 3 ),( 2 , 1 ) | $ e ottengo che $ det!= 0 $ se $ k!= 6 $ .
-Calcolo il determinate del suo orlante ( quindi dell'intera matrice ) e ottengo che ...
Richiamo quì brevemente che,per compattificazione d'uno spazio topologico $(X,tau)$ s'intende uno spazio topologico compatto e separato(i.e. di Hausdorff) $(Z,tau')$ che contenga una copia omeomorfa del I° come sottospazio denso:
confutare o dimostrare che,denominato resto d'una sifatta compattificazione la differenza insiemistica tra Z ed X,
il resto d'una compattificazione della retta euclidea non può essere dotato di tre punti "impropri" a due a due distinti e,
piu' in ...
Vorrei avere alcune delucidazioni su un esercizio di geometria proiettiva, vorrei sapere se svolgo correttamente alcuni punti.
Si consideri la conica $C$ di equazione $3x^2+4xy-9x-8y+11=0$
Si determini:
(1) Il tipo affine della conica.
Questo è piuttosto immediato, ho semplicemente portato l'equazione in coordinate omogenee:
$C: 3x_1^2+4x_1x_2-9x_1x_0-8x_2x_0+11x_0^2 = 0$
Da questa mi sono ricavato la matrice associata alla conica, ottengo:
\(\displaystyle A= \left[\begin{matrix}
11 & -9/2 & -4\\
-9/2 & 3 & ...
Ciao a tutti
Volevo chiedervi un aiuto per un' esercizio di geometria.
L'esercizio è:
"Dopo aver tracciato la curva di equazione
y=$sqrt(4-9x^2)$
determinare i punto che vi appartiene che ha distanza uguale a 2$sqrt(2)$ dalla retta $x+y-4=0$"
Ho iniziato l'esercizio tracciando la curva:
y=$sqrt(4-9x^2)$ $rArr$ $9x^2+y^2-4=0$
Ho calcolato l'inveriante cubico e quadratico e ho visto che si parla di un'ellisse.
Quindi la sua equazione canonica risulta ...
Ogni tanto negli esercizi che svolgo di algebra lineare sembra valere la seguente proposizione:
"Siano v e w due vettori di uno spazio vettoriale V. Se il vettore contenente le coordinate di v rispetto una determinata base B di V è linearmente indipendente rispetto al vettore contente le coordinate di w rispetto la medesima base B, allora v e w sono linearmente indipendenti".
Un esempio applicativo potrebbe essere quando ho bisogno di determinare la dipendenza (o indipendenza) lineare di due ...
Ciao a tutti, una curiosità: applicando la disuguaglianza di cauchy-schwarz (*) a un caso particolare si ricava una disuguaglianza, per esempio (salvo calcoli errati, ma non importa):
$ |( 1+x \ \ 1 )( ( 1 ),( x^2 ) )|^2<=((1+x)^2+1)(1+x^4) $
[...]
$x^6 + 2x^5 + x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 1>=0$.
Viceversa, se la domanda fosse: "è vero che $x^6 + 2x^5 + x^4 - 2x^3 - 2x^2 + 1 >=0$?", sarebbe possibile risalire "in retromarcia", con qualche algoritmo, alla diseguaglia di cauchy-schwarz per rispondere? Cioè, questa diseguaglianza può essere usata per studiare il segno di alcune ...
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