Autovettori, Autovalori
Ciao,
Data la matrice $A = ((2,1,-1),(0,-2,0),(-1,0,1))$
Ho sfruttato le regole per il calcolo degli autovalori e quindi ho risolto:
$det ((2-c,1,-1),(0,-2-c,0),(-1,0,1-c)) = 0$ $=> (-2-c)*det(A_22) = 0 $ $=> (-2-c)*[(2-c)*(1-c) -1] = 0 $
$ => c_1 = -2, c_2 = {3 + sqrt 5} / 2, c_3 = {3 - sqrt 5} / 2 $
Ora per l'autovalore $c_1$ trovo facilmente degli autovettori che sono nella forma $ w((3), (-11), (1)) $ e facendo la verifica ho visto che è corretto, mentre per gli autovettori di $c_2$ e $c_3$ ho un pò di problemi:
Ad esempio per trovare l'autovettore di $c_2 = {3 + sqrt 5} / 2 $ faccio: $ ((2,1,-1),(0,-2,0),(-1,0,1)) ((x), (y), (z)) = {3 + sqrt 5} / 2 ((x), (y), (z)) $
e mi viene il sistema: ${ (2x + y - z = {3 + sqrt 5} / 2 x ), (-2y = {3 + sqrt 5} / 2 y), (-x + z = {3 + sqrt 5} / 2 z) :}$
Ora mi potete confermare che questo sistema ha soluzione: $ { (x = 0),(y = 0),(z = 0) :} $ ?
In caso sia così, cosa accade? Cioè concludo che per l'autovalore $c_2 = {3 + sqrt 5} / 2$ non esistono autovettori non nulli?
Oppure devono esistere per forza autovettori non nulli per gli autovalori?
Grazie
Data la matrice $A = ((2,1,-1),(0,-2,0),(-1,0,1))$
Ho sfruttato le regole per il calcolo degli autovalori e quindi ho risolto:
$det ((2-c,1,-1),(0,-2-c,0),(-1,0,1-c)) = 0$ $=> (-2-c)*det(A_22) = 0 $ $=> (-2-c)*[(2-c)*(1-c) -1] = 0 $
$ => c_1 = -2, c_2 = {3 + sqrt 5} / 2, c_3 = {3 - sqrt 5} / 2 $
Ora per l'autovalore $c_1$ trovo facilmente degli autovettori che sono nella forma $ w((3), (-11), (1)) $ e facendo la verifica ho visto che è corretto, mentre per gli autovettori di $c_2$ e $c_3$ ho un pò di problemi:
Ad esempio per trovare l'autovettore di $c_2 = {3 + sqrt 5} / 2 $ faccio: $ ((2,1,-1),(0,-2,0),(-1,0,1)) ((x), (y), (z)) = {3 + sqrt 5} / 2 ((x), (y), (z)) $
e mi viene il sistema: ${ (2x + y - z = {3 + sqrt 5} / 2 x ), (-2y = {3 + sqrt 5} / 2 y), (-x + z = {3 + sqrt 5} / 2 z) :}$
Ora mi potete confermare che questo sistema ha soluzione: $ { (x = 0),(y = 0),(z = 0) :} $ ?
In caso sia così, cosa accade? Cioè concludo che per l'autovalore $c_2 = {3 + sqrt 5} / 2$ non esistono autovettori non nulli?
Oppure devono esistere per forza autovettori non nulli per gli autovalori?
Grazie
Risposte
Nessun può aiutarmi?
La soluzione non è quella, risolviamo il sistema il sitema omogeneo $(A-c_2Id)x=0$:
$ { (( 2-\frac{3+\sqrt(5)}{2})x+y-z=0),( (-2-\frac{3+\sqrt(5)}{2})y =0),( -x+(1-\frac{3+\sqrt(5)}{2})z=0):} \rightarrow { (( 2-\frac{3+\sqrt(5)}{2})x+y-z=0),( y=0),( (1-\frac{3+\sqrt(5)}{2})z=x ):}\rightarrow { ( (2-\frac{3+\sqrt(5)}{2})x=z),( y=0),( (1-\frac{3+\sqrt(5)}{2})z=x ):}$
si prende come variabile libera $t=z$ e si ottengono come soluzione i vettori $t((1-\frac{3+\sqrt(5)}{2}),(0),(1))$.
$ { (( 2-\frac{3+\sqrt(5)}{2})x+y-z=0),( (-2-\frac{3+\sqrt(5)}{2})y =0),( -x+(1-\frac{3+\sqrt(5)}{2})z=0):} \rightarrow { (( 2-\frac{3+\sqrt(5)}{2})x+y-z=0),( y=0),( (1-\frac{3+\sqrt(5)}{2})z=x ):}\rightarrow { ( (2-\frac{3+\sqrt(5)}{2})x=z),( y=0),( (1-\frac{3+\sqrt(5)}{2})z=x ):}$
si prende come variabile libera $t=z$ e si ottengono come soluzione i vettori $t((1-\frac{3+\sqrt(5)}{2}),(0),(1))$.
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare.[/xdom]
perfetto grazie ora è chiaro l'errore.
Un ultima cosa: è possibile avere degli autovalori e per uno di questi avere solo l'autovettore nullo?
Un ultima cosa: è possibile avere degli autovalori e per uno di questi avere solo l'autovettore nullo?
La condizione necessaria affinché un vettore sia un autovettore relativo ad un autovalore è che sia non nullo altrimenti tutti i scalari sarebbero suoi autovalori.
Ok grazie, quindi se dato un autovalore mi esce dal sistema (per trovare gli autovettori) solo il vettore nullo allora devo aver per forza sbagliato i calcoli (come prima)? Ho capito bene?
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