Legame tra pushforward e differenziale
Buona giornata,
sto seguendo un corso di geometria differenziale un po' striminzito e non riesco a far luce su alcuni concetti.
Se non vado errato ci è stato definito il push-forward $F\ast$ così: data $F: U \subset \mathbb{R}^n -> \mathbb{R}^m$, con $U$ aperto e $F$ differenziabile, allora $\forall v_p \in T_p \mathbb{R}^n$, $F\ast(v_p)=[F(p+tv)]'(0)$. In seguito abbiamo detto che il pushforward è associato alla jacobiana e abbiamo proceduto a dargli il nome di differenziale.
Dopo un po' di tempo abbiamo introdotto il differenziale esteriore che prende una $k$-forma su $\mathbb{R]^n$ e le associa una $k+1$-forma.
Non ho capito granché quale sia il legame fra il push-forward, questo differenziale fra k-forme e il "differenziale dell'analisi due".
Grazie in anticipo
sto seguendo un corso di geometria differenziale un po' striminzito e non riesco a far luce su alcuni concetti.
Se non vado errato ci è stato definito il push-forward $F\ast$ così: data $F: U \subset \mathbb{R}^n -> \mathbb{R}^m$, con $U$ aperto e $F$ differenziabile, allora $\forall v_p \in T_p \mathbb{R}^n$, $F\ast(v_p)=[F(p+tv)]'(0)$. In seguito abbiamo detto che il pushforward è associato alla jacobiana e abbiamo proceduto a dargli il nome di differenziale.
Dopo un po' di tempo abbiamo introdotto il differenziale esteriore che prende una $k$-forma su $\mathbb{R]^n$ e le associa una $k+1$-forma.
Non ho capito granché quale sia il legame fra il push-forward, questo differenziale fra k-forme e il "differenziale dell'analisi due".
Grazie in anticipo
Risposte
Il push forward e il differenziale sono la stessa cosa, solo che di solito "push-forward" ha una accezione più globale, mentre "differenziale" fa pensare più al differenziale in un punto. Fissando due sistemi di coordinate cartesiane ortonormali nel dominio e nel codominio di $F$, e calcolando la matrice associata al differenziale, si ottiene il "differenziale dell'analisi due". Insomma fin qui niente di nuovo, solo un po' di terminologia "fancy".
Il differenziale esterno invece è concettualmente diverso, e infatti è anche parecchio più importante. Esso non generalizza tanto il differenziale dell'analisi due quanto gli operatori differenziali della fisica: gradiente, divergenza e rotore. Capirlo bene non è semplice, io ci provo da anni e ancora non ci sono riuscito a fondo. Stringi i denti e continua a studiare, non ti preoccupare se ti sembra che qualcosa ti sfugga. Prima o poi capiremo.
Il differenziale esterno invece è concettualmente diverso, e infatti è anche parecchio più importante. Esso non generalizza tanto il differenziale dell'analisi due quanto gli operatori differenziali della fisica: gradiente, divergenza e rotore. Capirlo bene non è semplice, io ci provo da anni e ancora non ci sono riuscito a fondo. Stringi i denti e continua a studiare, non ti preoccupare se ti sembra che qualcosa ti sfugga. Prima o poi capiremo.
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