$\mathbb{R}$ non ha un sistema fondamentale di intorni numerabile (come ssp di $\mathbb{R}^2$)
Salve,
Sui miei appunti ho una dimostrazione, del fatto esposto nel titolo, che non riesco a capire bene.
Questa è la dimostrazione:
"Consideriamo il piano cartesiano. Sia $\mathbb{R}$, in questo caso, rappresentato dall'asse delle ascisse.
Sia $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ un sistema fondamentale di intorni numerabile di $\mathbb{R}$, in $\mathbb{R}^2$, per assurdo (cioè, comunque fisso un intorno di $(x,0)$, in $\mathbb{R}^2$, ($\forall x \in \mathbb{R}$), questo conterrà per qualche $m \in \mathbb{N}$, un $U_m$ che sarà intorno di $(x,0)$ in $\mathbb{R}^2$).
Allora definiamo:
$\forall n \in \mathbb{N}$ $A_n:=U_n\cap\mathbb{R}^+$, $B_n:= U_n\cap\mathbb{R}^-$
che sono dunque 2 famiglie numerabili di intorni aperti:
$(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ e $(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$
Consideriamo ora:
$\forall n\in \mathbb{N}$ ${B(n,x)|x>0}\cap A_n$
Esso è un aperto in $\mathbb{R}$, dunque è diviso in componenti connesse aperte.
Esse possono essere ordinate, perciò le ordinano in base alla distanza dal punto $(n,0)$.
Considerata la prima componente connesse, sia $\zeta$ un punto appartenente ad essa.
Consideriamo ora la funzione $\Lambda$ che interpola i vari $\zeta_n$ con delle rette e vale costantemente $\zeta_0$, a sinistra di $(0,0)$.
La funzione così fatta genera un intorno aperto di $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}^2$ non contenente nessun intorno di $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$.
Un discorso identico si applica a $(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$:
$\mathbb{R}$, dunque, non ha un sistema fondamentale di intorni in $\mathbb{R}^2$".
Scusate la lunghezza. Mi potete spiegare a grandi linee un pò "l'idea" per favore? Un input... qualcosa insomma. In che modo questa dimostrazione utilizza la definizione di base locale di intorni?
Praticamente non riesco a capire su cosa si fonda l'assurdo. Inoltre perdo proprio il filo quando parla della funzione interpolatrice.
Sui miei appunti ho una dimostrazione, del fatto esposto nel titolo, che non riesco a capire bene.
Questa è la dimostrazione:
"Consideriamo il piano cartesiano. Sia $\mathbb{R}$, in questo caso, rappresentato dall'asse delle ascisse.
Sia $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ un sistema fondamentale di intorni numerabile di $\mathbb{R}$, in $\mathbb{R}^2$, per assurdo (cioè, comunque fisso un intorno di $(x,0)$, in $\mathbb{R}^2$, ($\forall x \in \mathbb{R}$), questo conterrà per qualche $m \in \mathbb{N}$, un $U_m$ che sarà intorno di $(x,0)$ in $\mathbb{R}^2$).
Allora definiamo:
$\forall n \in \mathbb{N}$ $A_n:=U_n\cap\mathbb{R}^+$, $B_n:= U_n\cap\mathbb{R}^-$
che sono dunque 2 famiglie numerabili di intorni aperti:
$(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ e $(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$
Consideriamo ora:
$\forall n\in \mathbb{N}$ ${B(n,x)|x>0}\cap A_n$
Esso è un aperto in $\mathbb{R}$, dunque è diviso in componenti connesse aperte.
Esse possono essere ordinate, perciò le ordinano in base alla distanza dal punto $(n,0)$.
Considerata la prima componente connesse, sia $\zeta$ un punto appartenente ad essa.
Consideriamo ora la funzione $\Lambda$ che interpola i vari $\zeta_n$ con delle rette e vale costantemente $\zeta_0$, a sinistra di $(0,0)$.
La funzione così fatta genera un intorno aperto di $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}^2$ non contenente nessun intorno di $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$.
Un discorso identico si applica a $(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$:
$\mathbb{R}$, dunque, non ha un sistema fondamentale di intorni in $\mathbb{R}^2$".
Scusate la lunghezza. Mi potete spiegare a grandi linee un pò "l'idea" per favore? Un input... qualcosa insomma. In che modo questa dimostrazione utilizza la definizione di base locale di intorni?
Praticamente non riesco a capire su cosa si fonda l'assurdo. Inoltre perdo proprio il filo quando parla della funzione interpolatrice.
Risposte
"Isaac888":Non è vero!
...Allora definiamo:
$\forall n \in \mathbb{N}$ $A_n:=U_n\cap\mathbb{R}^+$, $B_n:= U_n\cap\mathbb{R}^-$
che sono dunque 2 famiglie numerabili di intorni aperti:
$(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ e $(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$...
Ti lascio ragionare... Se vuoi: fai un disegno\esempio!
"j18eos":Non è vero![/quote]
[quote="Isaac888"]...Allora definiamo:
$\forall n \in \mathbb{N}$ $A_n:=U_n\cap\mathbb{R}^+$, $B_n:= U_n\cap\mathbb{R}^-$
che sono dunque 2 famiglie numerabili di intorni aperti:
$(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$ e $(B_n)_{n\in \mathbb{N}}$...
Non è che ti riferisci al fatto che gli $U_n$ non siano intorni aperti vero? Perchè è possibile che il fatto che non si specifichi che siano aperti sia o perchè viene dato per scontato, o perchè l'autore si è dimenticato di scriverlo.
Io ho dato per scontato che gli intorni siano aperti; eppure, se vogliamo specificare questa richiesta, l'errore resta nel caso generale.
Ragiona così: \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia naturale è uno spazio topologico connesso e prendo \(\displaystyle x=0\).
Armando secondo me con [tex]\mathbb{R}^+[/tex] si intende i numeri positivi (zero escluso) e con [tex]\mathbb{R}^-[/tex] si intende i numeri negativi (zero escluso). Quindi qui non vedo problemi, si tratta di insiemi aperti.
Ma quello che non capisco è come fa [tex]\{(n,x)\ :\ x > 0\} \cap A_n[/tex] ad essere un aperto di [tex]\mathbb{R}[/tex]. Il primo di questi due insiemi è formato da coppie con la prima componente sempre uguale a [tex]n[/tex] quindi lì dentro l'unica eventuale intersezione con la retta reale è [tex](n,0)[/tex], cioè un punto, che non è aperto in [tex]\mathbb{R}[/tex].
Anche il resto mi sembra molto confuso e contraddittorio.
Ma quello che non capisco è come fa [tex]\{(n,x)\ :\ x > 0\} \cap A_n[/tex] ad essere un aperto di [tex]\mathbb{R}[/tex]. Il primo di questi due insiemi è formato da coppie con la prima componente sempre uguale a [tex]n[/tex] quindi lì dentro l'unica eventuale intersezione con la retta reale è [tex](n,0)[/tex], cioè un punto, che non è aperto in [tex]\mathbb{R}[/tex].
Anche il resto mi sembra molto confuso e contraddittorio.
"Martino":Sì, concordo pienamente che si può dare questa interpretazione; ma allora staremmo a ragionare in \(\displaystyle\mathbb{R}\setminus\{0\}\)?
Armando secondo me con [tex]\mathbb{R}^+[/tex] si intende i numeri positivi (zero escluso) e con [tex]\mathbb{R}^-[/tex] si intende i numeri negativi (zero escluso). Quindi qui non vedo problemi, si tratta di insiemi aperti...
"Martino":
Ma quello che non capisco è come fa [tex]\{(n,x)\ :\ x > 0\} \cap A_n[/tex] ad essere un aperto di [tex]\mathbb{R}[/tex]. Il primo di questi due insiemi è formato da coppie con la prima componente sempre uguale a [tex]n[/tex] quindi lì dentro l'unica eventuale intersezione con la retta reale è [tex](n,0)[/tex], cioè un punto, che non è aperto in [tex]\mathbb{R}[/tex].
Perchè ho scritto una fesseria. Mi sarò sbagliato e avrò sicuramente voluto scrivere [tex]\{B(n,x)\ :\ x > 0\} \cap A_n[/tex], nel senso di "Ball". Correggo subito.
Non so se può tornare dopo questa correzione, ma non posso che concordare sulla confusione a cui fa riferimento Martino. A tal proposito volevo chiedere a qualcuno se capisse almeno l'idea che c'è dietro la dimostrazione. Soprattutto nell'ultima parte.
PS: La deduzione di Martino su $\mathbb{R}^+$ ed $\mathbb{R}^-$ è corretta. Non l'ho detto perchè ho pensato che fosse una notazione abbastanza "universale".
Mah guarda, la cosa che mi turba di più è questa: perché hai bisogno di considerare [tex]\mathbb{R}[/tex] come sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^2[/tex]? Il fatto di ammettere un sistema fondamentale di intorni numerabile è intrinseco, cioè non dipende da qualsivoglia sovra-struttura.
"Martino":
Mah guarda, la cosa che mi turba di più è questa: perché hai bisogno di considerare [tex]\mathbb{R}[/tex] come sottoinsieme di [tex]\mathbb{R}^2[/tex]? Il fatto di ammettere un sistema fondamentale di intorni numerabile è intrinseco, cioè non dipende da qualsivoglia sovra-struttura.
Condivido in pieno. Gli appunti non li ho scritti io e la cosa mi turba ancora di più
Comunque, oltre a questo a me risulterebbe anche che $\mathbb{R}$ sia primo numerabile di suo. Perciò non capisco veramente perchè (ammesso che sia vero, a questo punto) $\mathbb{R}$ non sia primo numerabile come sottospazio di $\mathbb{R}^2$ (che per altro è anche, esso di suo, primo numerabile). Non mi sbaglio, vero?
Ok, chiarita la notazione!
Qui non capisco:
Oppure volevi dire che sono aperti connessi? Supponendo quest'ultima eventualità: perché sarebbero insieme connessi?
Qui non capisco:
"Isaac888":chi è diviso in componenti connesse aperte? \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia naturale?!
...Consideriamo ora:
$\forall n\in \mathbb{N}$ ${B(n,x)|x>0}\cap A_n$
Esso è un aperto in $\mathbb{R}$, dunque è diviso in componenti connesse aperte...
Oppure volevi dire che sono aperti connessi? Supponendo quest'ultima eventualità: perché sarebbero insieme connessi?
"j18eos":chi è diviso in componenti connesse aperte? \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia naturale?!
Ok, chiarita la notazione!
Qui non capisco:[quote="Isaac888"]...Consideriamo ora:
$\forall n\in \mathbb{N}$ ${B(n,x)|x>0}\cap A_n$
Esso è un aperto in $\mathbb{R}$, dunque è diviso in componenti connesse aperte...
Oppure volevi dire che sono aperti connessi? Supponendo quest'ultima eventualità: perché sarebbero insieme connessi?[/quote]1)Francamente non riesco a capire come $A_n$ e $B_n$ siano intorni di $(0,0)$ per esempio.
2) In merito a quello che dici, credo che quello che c'è scritto significhi che ad essere sconnesso sia l'insieme ${B(n,x)|x>0}\cap A_n$. A me questo non torna infatti. Tutt'al più, chi ha scritto tutto ciò, avrà inteso dire questo:
Dacchè l'intorno $U_n$ di un certo punto $x$ (qui dice $x>0$, probabilmente senza perdita di generalità) potrebbe intersecare il semiasse delle ascisse (non nulle) non positive (oltre che quelle non negative), l'aperto ${B(n,x)|x>0}$, contenuto in $U_n$, risulterebbe sconnesso (in tal caso) nelle due componenti connesse ${B(n,x)|x>0}\cap A_n$ e ${B(n,x)|x>0}\cap B_n$ (in quanto a me $A_n$ e $B_n$ sembrano connessi se gli $U_n$ sono connessi).
"Isaac888":Grazie a Orazio: lo \(\displaystyle0\) è stato gettato via sine causa apparente...
...
1)Francamente non riesco a capire come $A_n$ e $B_n$ siano intorni di $(0,0)$ per esempio.
...
"j18eos":Grazie a Orazio: lo \(\displaystyle0\) è stato gettato via sine causa apparente...[/quote]
[quote="Isaac888"]...
1)Francamente non riesco a capire come $A_n$ e $B_n$ siano intorni di $(0,0)$ per esempio.
...
Cioè?:?:
Se tu affermi che:
\[
\mathbb{R}^{+}=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}
\]
allora, in ogni caso, \(\displaystyle0\not\in A_n\); mutatis mutandis \(\displaystyle0\not\in B_n\)!
\[
\mathbb{R}^{+}=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}
\]
allora, in ogni caso, \(\displaystyle0\not\in A_n\); mutatis mutandis \(\displaystyle0\not\in B_n\)!
A me più che una dimostrazione sembra un delirio. Anch'io trovo che non sia affatto chiaro come sia definita la funzione \(\Lambda\), né come si giunga all'assurdo (in realtà non mi è proprio chiaro il senso del presunto assurdo). Ad ogni modo il fatto che, com'è stato giustamente osservato, tutti gli spazi in questione siano a base numerabile rende falso l'enunciato.
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