Sottospazio vettoriale U contenuto in V
Ciao ragazzi,
volevo chiedere se potreste darmi una mano a dimostrare questo semplice enunciato che ho trovato nel libro di testo:
" Se U è un sottospazio vettoriale di V e diverso da V stesso, allora esiste una base di V fatta tutta da generatori che non appartengono a U."
Immagino sia una cosa banale, ma sono alle prime armi con algebra lineare
Vi ringrazio anticipatamente
volevo chiedere se potreste darmi una mano a dimostrare questo semplice enunciato che ho trovato nel libro di testo:
" Se U è un sottospazio vettoriale di V e diverso da V stesso, allora esiste una base di V fatta tutta da generatori che non appartengono a U."
Immagino sia una cosa banale, ma sono alle prime armi con algebra lineare
Vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Butto lì un idea, non so se funzioni.
Indichiamo con $n$ la dimensione di $V$ e con $k$ la dimensione di $W$. Partiamo da una base di $V$ che contiene $k$ elementi di $W$:
\[\mathcal{B} := \{v_1,\dots,v_{n-k}, w_{n-k+1}, \dots, w_n\}\]
Dove $v_i \in V$ e $w_i \in W$. $k < n$ per ipotesi.
Allora, dato che $w_i \in V$, \[\forall w_i \in W \quad \exists u^i_1,\dots, u^i_n \in V, \not \in W \ : \ w_i = \sum_{j=1}^n \alpha^i_j u^i_j \] con $\alpha_j \in \mathbb{F}$.
Allora l'insieme \(\mathcal{B}' := \{v_1,\dots,v_{n-k}, u^{n-k+1}_1, \dots, u^{n-k+1}_n, \dots, u^{n}_1, \dots, u^{n}_n\}\) di elementi appartenenti a $V$ ma non a $W$ genera $V$. Da cui segue che esiste una base di elementi di $V$, non in $W$, che genera $V$.
Il punto saliente è dimostrare che ogni elemento di $W$ può essere scritto come combinazione lineare di elementi di $V$ ma non di $W$. Al momento devo scappare, ci ripenso stasera. Magari qualcun altro ha qualche idea più elegante.
Indichiamo con $n$ la dimensione di $V$ e con $k$ la dimensione di $W$. Partiamo da una base di $V$ che contiene $k$ elementi di $W$:
\[\mathcal{B} := \{v_1,\dots,v_{n-k}, w_{n-k+1}, \dots, w_n\}\]
Dove $v_i \in V$ e $w_i \in W$. $k < n$ per ipotesi.
Allora, dato che $w_i \in V$, \[\forall w_i \in W \quad \exists u^i_1,\dots, u^i_n \in V, \not \in W \ : \ w_i = \sum_{j=1}^n \alpha^i_j u^i_j \] con $\alpha_j \in \mathbb{F}$.
Allora l'insieme \(\mathcal{B}' := \{v_1,\dots,v_{n-k}, u^{n-k+1}_1, \dots, u^{n-k+1}_n, \dots, u^{n}_1, \dots, u^{n}_n\}\) di elementi appartenenti a $V$ ma non a $W$ genera $V$. Da cui segue che esiste una base di elementi di $V$, non in $W$, che genera $V$.
Il punto saliente è dimostrare che ogni elemento di $W$ può essere scritto come combinazione lineare di elementi di $V$ ma non di $W$. Al momento devo scappare, ci ripenso stasera. Magari qualcun altro ha qualche idea più elegante.
Io proverei così. Supponiamo che $U$ abbia codimensione $1$. Prendi una base di $V$ fatta in questa maniera:
\[
\underbrace{u_1\ldots u_n}_{\in U}\ \underbrace{v}_{\in V\setminus U}.
\]
Vuoi vedere che
\[
u_1+v,\ u_2+v,\ \ldots u_n+v
\]
è una base di $V$?
\[
\underbrace{u_1\ldots u_n}_{\in U}\ \underbrace{v}_{\in V\setminus U}.
\]
Vuoi vedere che
\[
u_1+v,\ u_2+v,\ \ldots u_n+v
\]
è una base di $V$?
Grazie ragazzi,
ero pervenuto ad una cosa simile a quello proposto da dissonance, ma non avendo controprove mi serviva un confronto
grazie mille
ero pervenuto ad una cosa simile a quello proposto da dissonance, ma non avendo controprove mi serviva un confronto
grazie mille
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