Sistema Omogeneo e Sistema non Omogeneo
Qualcuno può spiegarmi il vantaggio di questa proposizione :
Sia assegnato un sistema di m equazioni in n incognite non omogeneo e compatibile.Tutte le soluzioni del sistema si ottengono sommando a una sua soluzione tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato.
La dimostrazione di tale proposizione termina dicendo:
La proposizione ora provata risolve il problema che avevamo posto circa l'incombenza di dover applicare la regola di Cramer molte volte per trovare le soluzioni del sistema non omogeneo. Infatti per trovare una soluzione di tale sistema si applicherà la regola di Cramer una sola volta e per trovare le soluzioni del sistema omogeneo basterà trovare una sua base e per la sua determinazione si dovrà applicare la regola di Cramer n-p volte.
Il mio dubbio è questo: se si applica la regola di Cramer n-p volte al sistema non omogeneo non si ottengono lo stesso le soluzioni di tale sistema ? non riesco a capire il vantaggio di tale proposizione
Sia assegnato un sistema di m equazioni in n incognite non omogeneo e compatibile.Tutte le soluzioni del sistema si ottengono sommando a una sua soluzione tutte le soluzioni del sistema omogeneo associato.
La dimostrazione di tale proposizione termina dicendo:
La proposizione ora provata risolve il problema che avevamo posto circa l'incombenza di dover applicare la regola di Cramer molte volte per trovare le soluzioni del sistema non omogeneo. Infatti per trovare una soluzione di tale sistema si applicherà la regola di Cramer una sola volta e per trovare le soluzioni del sistema omogeneo basterà trovare una sua base e per la sua determinazione si dovrà applicare la regola di Cramer n-p volte.
Il mio dubbio è questo: se si applica la regola di Cramer n-p volte al sistema non omogeneo non si ottengono lo stesso le soluzioni di tale sistema ? non riesco a capire il vantaggio di tale proposizione
Risposte
Ciao, faffaegnam.
Il vantaggio consiste nel fatto che in un sistema lineare omogeneo (con matrice associata avente $m$ righe e $n$ colonne), l'insieme delle soluzioni costituisce un sottospazio vettoriale di $RR^m$, cioè un insieme con interessanti proprietà tipiche di quella struttura algebrica.
Nel caso di sistema non omogeneo, l'insieme delle soluzioni non è più un sottospazio vettoriale, ma è un "traslato" del sottospazio costituente l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato.
In generale la regola di Cramer è molto laboriosa da applicare, quindi assai svantaggiosa (a meno di non avere ordine di matrice assai contenuto); inoltre essa contempla unicamente il caso in cui si abbia $m=n$.
Spero di aver adeguatamente chiarito.
Saluti.
Il vantaggio consiste nel fatto che in un sistema lineare omogeneo (con matrice associata avente $m$ righe e $n$ colonne), l'insieme delle soluzioni costituisce un sottospazio vettoriale di $RR^m$, cioè un insieme con interessanti proprietà tipiche di quella struttura algebrica.
Nel caso di sistema non omogeneo, l'insieme delle soluzioni non è più un sottospazio vettoriale, ma è un "traslato" del sottospazio costituente l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato.
In generale la regola di Cramer è molto laboriosa da applicare, quindi assai svantaggiosa (a meno di non avere ordine di matrice assai contenuto); inoltre essa contempla unicamente il caso in cui si abbia $m=n$.
Spero di aver adeguatamente chiarito.
Saluti.
Innanzitutto ti ringrazio per la mano che mi stai dando 
Vorrei che mi chiarissi questi dubbi
Cosa cambia nella risoluzione che l'insieme delle soluzioni è un sottospazio vettoriale ? (premetto di sapere le proprietà dei sottospazi)
Inoltre fermami se sbaglio,è utile questa proposizione,con cui ho iniziato la discussione, poichè i coefficienti potrebbero essere intere espressioni che allungherebbero notevolmente i calcoli ?
Perchè da come ne parla il mio libro è come se si dovesse applicare Cramer al sistema omogeneo un numero inferiore di volte per risolverlo,mentre se non ho capito male bisogna applicarlo sempre n-p volte sia se il sistema è omogeneo sia se non lo è ...o sbaglio ?
Vorrei che mi chiarissi questi dubbi
Cosa cambia nella risoluzione che l'insieme delle soluzioni è un sottospazio vettoriale ? (premetto di sapere le proprietà dei sottospazi)
Inoltre fermami se sbaglio,è utile questa proposizione,con cui ho iniziato la discussione, poichè i coefficienti potrebbero essere intere espressioni che allungherebbero notevolmente i calcoli ?
Perchè da come ne parla il mio libro è come se si dovesse applicare Cramer al sistema omogeneo un numero inferiore di volte per risolverlo,mentre se non ho capito male bisogna applicarlo sempre n-p volte sia se il sistema è omogeneo sia se non lo è ...o sbaglio ?
A cosa corrisponderebbe $p$ nell'espressione $n-p$ da te citata?
Non mi è affatto chiaro.
Saluti.
Non mi è affatto chiaro.
Saluti.
Scusami XD indica il rango "p"
Capisco... ma, ad ogni modo, almeno secondo me, la regola di Cramer non è assolutamente conveniente.
Non mi curerei troppo di quella proposizione.
Saluti.
Non mi curerei troppo di quella proposizione.
Saluti.
Più che altro era per chiarire i dubbi che ho esposto sopra
Innanzitutto ti ringrazio per la mano che mi stai dando
Vorrei che mi chiarissi questi dubbi
Cosa cambia nella risoluzione che l'insieme delle soluzioni è un sottospazio vettoriale ? (premetto di sapere le proprietà dei sottospazi)
Inoltre fermami se sbaglio,è utile questa proposizione,con cui ho iniziato la discussione, poichè i coefficienti potrebbero essere intere espressioni che allungherebbero notevolmente i calcoli ?
Perchè da come ne parla il mio libro è come se si dovesse applicare Cramer al sistema omogeneo un numero inferiore di volte per risolverlo,mentre se non ho capito male bisogna applicarlo sempre n-p volte sia se il sistema è omogeneo sia se non lo è ...o sbaglio ?
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