Esercizio spazi vettoriali

[plesyo96]

Salve, ho problemi con questo esercizio, anche se intuitivamente è molto semplice, ma non so come procedere con termini formali.

Sia (V, +, ·) un K-spazio vettoriale, e siano 0k lo zero del campo K, e 0v il vettore nullo di V.
(1) Provare che 0k · v = 0v per ogni vettore v di V
(2) Provare che α · 0v = 0v per ogni α di K

Sono abbastanza ovvie, ma come posso dimostrarle con le proprietà degli spazi vettoriali?
Grazie

[Gi81]

Indico con $ul0$ lo zero di $V$, e con $0$ lo zero di $K$.

Per ogni $ulv in V$ si ha $ul0+0 ulv =0 ulv= (0+0)*ulv = 0 ulv + 0 *ulv$, dunque $ul0 +0 ulv = 0ulv +0ulv$
da cui (legge di cancellazione) $ul0= 0 ulv$ per ogni $ulv in V$

[plesyo96]

"Gi8":Indico con $ul0$ lo zero di $V$, e con $0$ lo zero di $K$.

Per ogni $ulv in V$ si ha $ul0+0 ulv =0 ulv= (0+0)*ulv = 0 ulv + 0 *ulv$, dunque $ul0 +0 ulv = 0ulv +0ulv$
da cui (legge di cancellazione) $ul0= 0 ulv$ per ogni $ulv in V$

Ok, quindi dovrei applicare lo stesso ragionamento per la verifica (2), quindi per ogni α di K? Giusto?

[Gi81]

Esatto, il ragionamento da fare per dimostrare (2) è assolutamente analogo. Prova