Vettori linearmente dipendenti
Buon giorno , questa mattina mi sto esercitando sempre nell'ambito dei sottospazi vettoriali ma mi sono imbattuto in questo esercizio dove ho trovato molte difficoltà fin da subito . L'esercizio è il seguente :
Per quali valori di t appartenente ad R i quattro vettori (1 2 1 ) , (3 2 t ) , (2 2 t^2 ) , (2 2 t^3) sono linearmente dipendenti ?
Io dalla teoria ho capito che per essere dipendenti i coefficienti a, b ,c e z (in questo ) devono essere diversi da 0 però qui anche il problema che ho l'incognita t ed inoltre le equazioni ricavabili da questi vettori sono 3 e non 4 e quindi neanche attraverso il sistema riesco a risolverlo . Alcuni amici mi hanno detto che devo usare le matrici ma noi ancora non le abbiamo fatte quindi non so come procedere.Grazie in anticipo .
Per quali valori di t appartenente ad R i quattro vettori (1 2 1 ) , (3 2 t ) , (2 2 t^2 ) , (2 2 t^3) sono linearmente dipendenti ?
Io dalla teoria ho capito che per essere dipendenti i coefficienti a, b ,c e z (in questo ) devono essere diversi da 0 però qui anche il problema che ho l'incognita t ed inoltre le equazioni ricavabili da questi vettori sono 3 e non 4 e quindi neanche attraverso il sistema riesco a risolverlo . Alcuni amici mi hanno detto che devo usare le matrici ma noi ancora non le abbiamo fatte quindi non so come procedere.Grazie in anticipo .
Risposte
Nessuno può aiutarmi , ci ho pensato anche tutto ieri ma non riesco proprio a risolverlo
Devi risolvere questa equazione: $a(1,2,1)+b(3,2,t)+c(2,2,t^2)+d(2,2,t^3)=(0,0,0)$. Che è equivalente al sistema:
${(a+3b+2c+2d=0),(2a+2b+2c+2d=0),(a+tb+t^2c+t^3d=0):}$ perchè l'ugualianza tra vettori può essere espressa componente per componente. (nota: chiaramente le incognite sono a,b,c,d)
Ora se l'unica soluzione del sistema è $a=b=c=d=0$ i vettori sono linearmente indipendenti, altrimenti sono dipendenti.
Questo per la definizione: facendo a volte il primo più b volte il secondo più c volte il terzo più d volte il quarto, sto facendo una loro combinazione lineare e controllo se qualche coefficiente può essere diverso da zero.
Per risolvere il sistema quasi sempre si usa il metodo di Gauss.
${(a+3b+2c+2d=0),(2a+2b+2c+2d=0),(a+tb+t^2c+t^3d=0):}$ perchè l'ugualianza tra vettori può essere espressa componente per componente. (nota: chiaramente le incognite sono a,b,c,d)
Ora se l'unica soluzione del sistema è $a=b=c=d=0$ i vettori sono linearmente indipendenti, altrimenti sono dipendenti.
Questo per la definizione: facendo a volte il primo più b volte il secondo più c volte il terzo più d volte il quarto, sto facendo una loro combinazione lineare e controllo se qualche coefficiente può essere diverso da zero.
Per risolvere il sistema quasi sempre si usa il metodo di Gauss.
Usare le matrici è un modo per semplificare la notazione: infatti al posto di scrivere tutto il sistema (come ho fatto io prima), ci si riduce a scrivere la matrice dei coefficienti, così:
1 3 2 2 0
2 2 2 2 0
a t t^2 t^3 0
Perchè tanto il metodo di gauss agisce solo sui coefficienti.
1 3 2 2 0
2 2 2 2 0
a t t^2 t^3 0
Perchè tanto il metodo di gauss agisce solo sui coefficienti.
Grazie per le due riposte , adesso ho solo un problema perchè anche io ho impostato il sistema come ha fatto lei solo che non riuscivo a risolverlo perchè vi sono 4 incognite e tre equazioni però lei ha scritto che esso si risolve con il metodo di Gauss , gentilmente potrebbe spiegarmi il metodo di gauss o linkarmi un sito dove è spiegato bene , poichè ancora non l'abbiamo affrontato come argomento all'università. Più che altro io so che il metodo di gauss è quello che ti permette di sottrarre , moltiplicare e scambiare , però qui ho quei valori incogniti di t i quali mi bloccano sempre
nel primo messaggio ho già messo il link wiki del metodo.
ok, per ora io ti ho descritto il metodo generale, ma vedo che sei arrivato comunque ad intuire qualcosa... Se la dimensione di uno spazio vettoriale è $n$, allora in esso possono esistere al max $n$ vettori linearmente indipendenti tra loro. Tu sei in $RR^3$, la cui dimensione è chiaramente 3, dunque se ho quattro vettori, uno di essi potrò sempre scriverlo come combinazione lineare degli altri 3.
Si su questo sono perfettamente d'accordo poichè m>n e quindi tutti e quattro non sono linearmente indipendenti , come dice lei uno di questi si può scrivere combinazione dei vettori linearmente indipendenti . A questo punto ho il mio problema perchè a me servirebbe sapere il valore di t per scoprire per quali valori sono invece dipendenti ma l'equazione non riesco a risolverla perchè se riuscissi in qualche modo a trovare i valori di a ,b ,c e d senza che essi siano uguali a 0 li sostituirei nell'equazione a+bt+ct^2+dt^3=0 e cosi troverei i valori per i quali sono linearmente dipendenti .
quattro vettori in $RR^3$ sono sempre linearmente dipendenti. questo significa che non esite $t in RR$ affinchè essi diventino lin ind
Si, ma infatti il problema mi chieda la t per cui essi sono linearmente dipendenti
Adesso stavo continuando a riflettere all'esercizio ma la soluzione potrebbe essere che essendo quattro vettori linearmente dipendenti non conta quale sia il valore di t e quindi va bene qualsiasi t appartenente a R ?
siamo sempre lí. se non esiste $t$ affinchè siano ind, significa che sono dip per ogni t
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