Topologia: spazi cocontabili
Salve a tutti, sto studiando Topologia generale dal libro di Assunta Russo, e avrei una domanda in merito agli spazi cocontabili.
Innanzitutto uno spazio cocontabile S è uno spazio topologico i cui aperti non vuoti sono sottoinsiemi X di S tali che S-X è finito o numeabile.
So che vale la seguente proposizione:
Sia (S,A) spazio topologico. Se S è di Hausdorff (\(\displaystyle T_2 \) ), ogni successione di punti di S ha un unico limite.
Per mostrare che non vale il viceversa mi servo appunto degli spazi cocontabili S, con |S|>|N|; ed è qui che alcune cose non tornano. Dunque,sul libro ci sono le seguenti considerazioni:
Innanzitutto, in ogni spazio S le successioni definitivamente costanti convergono almeno al punto a cui sono costanti, e convergono solo a quel punto se lo spazio S è \(\displaystyle T_1 \).
In ogni spazio cocontabile le uniche successioni convergenti sono quelle definitivamente costanti.
In entrambe le dimostrazioni di questi fatti sfrutta che ogni spazio cocontabile è \(\displaystyle T_1 \), ma questo non viene dimostrato, e io ho provato a farlo concentrandomi sul caso |S|>|N|, che è quello usato per il controesempio, ma non riesco proprio. Conto su un vostro aiuto!!! Grazie
Innanzitutto uno spazio cocontabile S è uno spazio topologico i cui aperti non vuoti sono sottoinsiemi X di S tali che S-X è finito o numeabile.
So che vale la seguente proposizione:
Sia (S,A) spazio topologico. Se S è di Hausdorff (\(\displaystyle T_2 \) ), ogni successione di punti di S ha un unico limite.
Per mostrare che non vale il viceversa mi servo appunto degli spazi cocontabili S, con |S|>|N|; ed è qui che alcune cose non tornano. Dunque,sul libro ci sono le seguenti considerazioni:
Innanzitutto, in ogni spazio S le successioni definitivamente costanti convergono almeno al punto a cui sono costanti, e convergono solo a quel punto se lo spazio S è \(\displaystyle T_1 \).
In ogni spazio cocontabile le uniche successioni convergenti sono quelle definitivamente costanti.
In entrambe le dimostrazioni di questi fatti sfrutta che ogni spazio cocontabile è \(\displaystyle T_1 \), ma questo non viene dimostrato, e io ho provato a farlo concentrandomi sul caso |S|>|N|, che è quello usato per il controesempio, ma non riesco proprio. Conto su un vostro aiuto!!! Grazie
Risposte
CIa0;
ti faccio notare che uno spazio è \(\displaystyle\mathrm{T}_1\) se e solo se ogni suo punto è chiuso.
Notato ciò: uno spazio conumerabile (o cocontabile) è \(\displaystyle\mathrm{T}_1\) se e solo se la sua topologia è discreta. (Dimostralo!)
C'è forse un errore?
ti faccio notare che uno spazio è \(\displaystyle\mathrm{T}_1\) se e solo se ogni suo punto è chiuso.
Notato ciò: uno spazio conumerabile (o cocontabile) è \(\displaystyle\mathrm{T}_1\) se e solo se la sua topologia è discreta. (Dimostralo!)
C'è forse un errore?
"j18eos":No, Armando che dici?
uno spazio conumerabile (o cocontabile) è \(\displaystyle\mathrm{T}_1\) se e solo se la sua topologia è discreta. (Dimostralo!)
Rosy1993 ha ragione: ogni spazio cocontabile è T1. Questo è perché i punti sono insiemi finiti quindi sono chiusi.
Ma che mi succede: sto divenendo strabico?! Leggo chiuso al posto di aperto, confondo dominio e codominio; ci manca solo che veda lanterne al posto delle lucciole...
Scusami Rosy1993;
per fortuna che avevo scritto l'ultima riga, in cui mi chiedevo se ci fosse qualche (mio) errore.
Scusami Rosy1993;
per fortuna che avevo scritto l'ultima riga, in cui mi chiedevo se ci fosse qualche (mio) errore.
Scusatemi per il ritardo nella risposta, ma ieri ho avuto problemi con la linea internet.
Grazie ragazzi, credo di aver capito, tuttavia non sono d'accordo con quello che dite:
In generale non è detto che i punti di uno spazio cocontabile S siano chiusi, perché per stabilire che un insieme sia aperto é necessario stabilire che il suo complementare in S sia finito o numerabile, non che l'insieme stesso lo sia (la topologia che ha per aperti gli insiemi finiti invece si dice topologia cofinita);
però nel mio caso S ha cardinalità più che numerabile, quindi se x è un suo punto, S-{x} è ancora più che numerabile, e da qui segue che x è chiuso!
Siete d'accordo?
Grazie ragazzi, credo di aver capito, tuttavia non sono d'accordo con quello che dite:
In generale non è detto che i punti di uno spazio cocontabile S siano chiusi, perché per stabilire che un insieme sia aperto é necessario stabilire che il suo complementare in S sia finito o numerabile, non che l'insieme stesso lo sia (la topologia che ha per aperti gli insiemi finiti invece si dice topologia cofinita);
però nel mio caso S ha cardinalità più che numerabile, quindi se x è un suo punto, S-{x} è ancora più che numerabile, e da qui segue che x è chiuso!
Siete d'accordo?
Attenzione Rosy, che ora stai facendo il mio stesso errore; la definizione dice che \(\displaystyle A\) è un sottoinsieme aperto di uno spazio topologico \(\displaystyle S\) con la topologia conumerabile se e solo se \(\displaystyle S\setminus A\) è un insieme finito o numerabile; quindi i sottoinsiemi chiusi di \(\displaystyle S\) sono tutti e i solo sottoinsiemi finiti e numerabili, oltre che \(\displaystyle S\) stesso.
É vero, che sciocca! Quindi in pratica mi sono complicata la vita XD
Un'osservazione: se proprio vogliamo fare la distinzione tra caso S finito o numerabile e S più che numerabile, è giusto dire che se S è finito o numerabile tutti i suoi sottoinsiemi sono sia aperti che chiusi, e quindi in tal caso la topologia cocontabile coincide con la topologia discreta?
Un'osservazione: se proprio vogliamo fare la distinzione tra caso S finito o numerabile e S più che numerabile, è giusto dire che se S è finito o numerabile tutti i suoi sottoinsiemi sono sia aperti che chiusi, e quindi in tal caso la topologia cocontabile coincide con la topologia discreta?
Invece per provare che uno spazio cocontabile non è T2 ho provato a ragionare per assurdo:
Se p.a. esistono U e V intorni aperti disgiunti rispettivamente di x e y punti distinti di S, allora trovo che gli insiemi C=S-U e D=S-V sono due insiemi finiti o numerabili (chiusi della topologia) la cui unione è S (per le formule di Morgan). Ma l'unione di due insiemi finiti o numerabili è al più numerabile, quindi qui si giunge a un assurdo solo nel momento in cui si sceglie S con cardinalità maggiore del numerabile.
Quindi, in definitiva, sono sicura che ogni spazio cocontabile di cardinalità più che numerabile é T1 ma non T2 (per quanto riguarda spazi cocontabili di cardinalità finita o numerabile il tutto si riduce a studiare la topologia discreta che a occhio e croce direi proprio che è T2).
È corretto o ho preso qualche altro abbaglio? Grazie ancora
Se p.a. esistono U e V intorni aperti disgiunti rispettivamente di x e y punti distinti di S, allora trovo che gli insiemi C=S-U e D=S-V sono due insiemi finiti o numerabili (chiusi della topologia) la cui unione è S (per le formule di Morgan). Ma l'unione di due insiemi finiti o numerabili è al più numerabile, quindi qui si giunge a un assurdo solo nel momento in cui si sceglie S con cardinalità maggiore del numerabile.
Quindi, in definitiva, sono sicura che ogni spazio cocontabile di cardinalità più che numerabile é T1 ma non T2 (per quanto riguarda spazi cocontabili di cardinalità finita o numerabile il tutto si riduce a studiare la topologia discreta che a occhio e croce direi proprio che è T2).
È corretto o ho preso qualche altro abbaglio? Grazie ancora
Tutto giusto Rosy !
Grazie 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo