Dimostrazione di ortogonalità e ortonormalità
Salve a tutti! Purtroppo l'esame si avvicina e ho dei forti dubbi riguardanti l'ortogonalità e l'ortonormalità. Praticamente ho lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore di n con base b= \({1,x, x^2,...,n^n}\). Mi si chiede di dimostrare che siano ortogonali a due a due e di dire inoltre se sono ortonormali o meno. Vi sarei grato se mi daste una mano!
Risposte
Per definire la nozione di ortogonalita' e ortonormalita' hai bisogno di una prodotto scalare sullo spazio vettoriale che stai considerando.
Quale e' il prodotto scalare nel tuo caso?
Si tratta semplicemente del prodotto scalare standard di $\mathbb{R}^{n+1}$ indotto identificando la base scelta per lo spazio dei polinomi con la base canonica di $\mathbb{R}^{n+1}$?
[edit: visto ora questo post.]
Quale e' il prodotto scalare nel tuo caso?
Si tratta semplicemente del prodotto scalare standard di $\mathbb{R}^{n+1}$ indotto identificando la base scelta per lo spazio dei polinomi con la base canonica di $\mathbb{R}^{n+1}$?
[edit: visto ora questo post.]
Grazie mille per la disponibilità e per la risposta! Scusami ma ho dimenticato di scriverlo! Si si intendevo proprio quel prodotto scalare!
Allora la dimostrazione viene direttamente dal fatto che la base canonica di $\mathbb{R}^{n+1}$ e' ortonormale per il prodotto scalare standard.
Identificando le due basi e usando l'identificazione per trasportare il prodotto scalare, ottieni che anche la base dello spazio dei polinomi e' ortonormale.
Identificando le due basi e usando l'identificazione per trasportare il prodotto scalare, ottieni che anche la base dello spazio dei polinomi e' ortonormale.
Studiando un po le definizioni e grazie ora alla tua spiegazione ho capito il concetto. Purtroppo non capisco allora bene il quesito che mi si pone!
La domanda che devo risolvere dice: " Visto il prodotto interno standard in Rn e data la base canonica \(B=1,x,x2,...,n^n\), con \({P(x), P(n) \le n} \) studiare se i componenti sono ortogonali a due a due. Infine dire se tali componenti sono ortonormali.
Come posso rispondere al quesito alla luce delle definizioni? Grazie ancora!
La domanda che devo risolvere dice: " Visto il prodotto interno standard in Rn e data la base canonica \(B=1,x,x2,...,n^n\), con \({P(x), P(n) \le n} \) studiare se i componenti sono ortogonali a due a due. Infine dire se tali componenti sono ortonormali.
Come posso rispondere al quesito alla luce delle definizioni? Grazie ancora!
Chiamiamo $\langle -,- \rangle_{std}$ il prodotto scalare standard di $\mathbb{R}^n$, ovvero il prodotto definito da:
\[
\langle (v_1,...,v_n),(w_1,...,w_n)\rangle_{std} = v_1w_1 + ... + v_n w_n.
\]
Ora, abbiamo lo spazio dei polinomi, con base $1,x,...,x^n$ e lo identifichiamo con $\mathbb{R}^{n+1}$ identificando la base $1,x,...,x^n$ con la base canonica $e_0,...,e_n$ (faccio partire gli indici da $0$ per comodita'), ovvero definiamo l'isomorfismo di spazio vettoriali:
\begin{align*}
\Phi: P_n \to \mathbb{R}^{n+1}
\end{align*}
dato da $\Phi(x^i) = e_i$ per ogni $i$ (le applicazioni di spazi vettoriali sono univocamente determinate una volta che si danno le immagini di una base del dominio!).
Usiamo $\Phi$ per definire un prodotto scalare su $P_n$. Definiamo $\langle - , - \rangle_{pol}$ come segue: per ogni $f,g \in P_n$ sia
\[
\langle f,g \rangle_{pol} = \langle \Phi(f), \Phi(g) \rangle_{std}.
\]
La linearita' di $\Phi$ e le proprieta' di $\langle-,-\rangle_{std}$ ti permettono di dimostrare che in effetti $\langle -,-\rangle_{pol}$ e' un prodotto scalare.
Ora, tu vuoi dimostrare che $1,x,...,x^n$ sono ortonormali rispetto a $\langle -, - \rangle_{pol}$. A questo punto puoi fare il conticino usando la definizione che abbiamo dato e vederlo esplicitamente. Tuttavia, il risultato e' ovvio (o quasi) dalle definizioni perche' abbiamo definito $\langle - ,-\rangle_{pol}$ proprio imponendo che le $x^i$ si comportassero come fanno le $e_i$ in $\mathbb{R}^{n+1}$.
\[
\langle (v_1,...,v_n),(w_1,...,w_n)\rangle_{std} = v_1w_1 + ... + v_n w_n.
\]
Ora, abbiamo lo spazio dei polinomi, con base $1,x,...,x^n$ e lo identifichiamo con $\mathbb{R}^{n+1}$ identificando la base $1,x,...,x^n$ con la base canonica $e_0,...,e_n$ (faccio partire gli indici da $0$ per comodita'), ovvero definiamo l'isomorfismo di spazio vettoriali:
\begin{align*}
\Phi: P_n \to \mathbb{R}^{n+1}
\end{align*}
dato da $\Phi(x^i) = e_i$ per ogni $i$ (le applicazioni di spazi vettoriali sono univocamente determinate una volta che si danno le immagini di una base del dominio!).
Usiamo $\Phi$ per definire un prodotto scalare su $P_n$. Definiamo $\langle - , - \rangle_{pol}$ come segue: per ogni $f,g \in P_n$ sia
\[
\langle f,g \rangle_{pol} = \langle \Phi(f), \Phi(g) \rangle_{std}.
\]
La linearita' di $\Phi$ e le proprieta' di $\langle-,-\rangle_{std}$ ti permettono di dimostrare che in effetti $\langle -,-\rangle_{pol}$ e' un prodotto scalare.
Ora, tu vuoi dimostrare che $1,x,...,x^n$ sono ortonormali rispetto a $\langle -, - \rangle_{pol}$. A questo punto puoi fare il conticino usando la definizione che abbiamo dato e vederlo esplicitamente. Tuttavia, il risultato e' ovvio (o quasi) dalle definizioni perche' abbiamo definito $\langle - ,-\rangle_{pol}$ proprio imponendo che le $x^i$ si comportassero come fanno le $e_i$ in $\mathbb{R}^{n+1}$.
Ti ringrazio molto! Mi sfugge una cosa pero, "pol" a cosa sta?
E' solo per distinguere i due prodotti scalari. Uno e' il prodotto scalare standard di $\mathbb{R}^{n+1}$, e l'ho chiamato $\langle -,-\rangle_{std}$ (dove $std$ sta per standard); l'altro e' il prodotto sullo spazio dei polinomi $P_n$ e l'ho chiamato $\langle -,- \rangle_{pol}$ (dove, se vogliamo, $pol$ sta per polinomi); ma ci potevo scrivere $1$ e $2$ oppure \(lasagne\) e $caffe'$; e' solo per distinguerli.
Ti ringrazio moltissimo! Ora è tutto chiaro!
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