Simultanea diagonalizzabilità

[isaac888]

Salve a tutti.

Sono alle prese con un dubbio un pò inquietante. Iniziamo:

Ho questi due teoremi:

TEO1:
"Ogni coppia di matrici quadrate e simmetriche $A$ e $B$, tale che almeno una delle due sia definita positiva (supponiamo $A$), ammette una matrice $Q$ invertibile che le diagonalizza simultaneamente."

TEO2:
"Due matrici quadrate $A$ e $B$ sono diagonalizzabili, allora sono equivalenti le seguenti due proposizioni:
1) $A$ e $B$ sono simultaneamente diagonalizzabili;
2) $AB = BA$"

Ora io ho due matrici fatte così: $$M=\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2\end{bmatrix}$$
$$K=\begin{bmatrix} k_1+k_2 & -k_2 \\ -k_2 & k_2\end{bmatrix}$$
dove $m_i$ e $k_i$ positivi (masse e costanti elastiche)

Dal TEO1 mi aspetto che esista la matrice $Q$ che le diagonalizzi entrambe. Forte di questa consapevolezza, dal TEO2 mi aspetto che le due matrici $M$ e $K$ commutino. Tuttavia, facendo i prodotti delle due matrici ottengo:
$$MK = \begin{bmatrix} m_1(k_1+k_2) & -m_1k_2 \\ -m_2k_2 & m_2k_2\end{bmatrix}$$
$$KM=\begin{bmatrix} m_1(k_1+k_2) & -m_2k_2 \\ -m_1k_2 & m_2k_2\end{bmatrix}$$
Che sono diversi (a meno che $m_1=m_2$, ma è un'ipotesi che TEO1 non richiede necessariamente affinchè $M$ e $K$ siano simultaneamente diagonalizzabili!)

Sicuramente i due teoremi (così come li ho formulati) sono in contraddizione fra loro per mezzo di queste due matrici che ho trovato. Qualcuno saprebbe dirmi se e quali fra i due teoremi sono giusti? Ho male scritto\interpretato i teoremi?

Grazie in anticipo.

[elvis3]

Si tratta di una cattiva interpretazione del TEO1: nell'enunciato, diagonalizzabilità è da intendersi come diagonalizzabilità di forme quadratiche e non come diagonalizzabilità di trasformazioni lineari. Dunque il TEO1 ci dice che, nelle ipotesi, le matrici simmetriche \(A\) e \(B\) hanno una base ortogonale comune (non necessariamente di autovettori).

[isaac888]

Mi permetto di replicare le mie perplessità.

Dal TEO1 ho dunque che $M$ e $K$ ammettono una base comune di vettori ortogonali diagonalizzante entrambe queste forme quadratiche. Una tale base è (necessariamente[nota]quando un prodotto scalare è definito $>0$ l'ortogonalità implica l'indipendenza lineare per come mi ricordo io. Cioè due sottospazi ortogonali sono in somma diretta...
Si può verificare facilmente con il criterio di Jacobi che $M$ e $K$ siano definite positive.[/nota]) anche una base di autovettori per entrambe le matrici viste come semplici endomorfismi (giusto?). Dunque (se non sto ancora fraintendendo...) $M$ e $K$ come semplici endomorfismi dovrebbero essere diagonalizzabilli dalla stessa base di autovettori (nella fattispecie ortogonali) facendo scattare così la seconda proposizione del TEO2.

Questo è ciò che penso io, ma se non funziona ci deve essere qualche problema... Mi sapresti dire dove sbaglio per favore (soprattutto riguardo la necessità che una base ortogonale sia di autovettori)?

[elvis3]

"Isaac888":Dal TEO1 ho dunque che $ M $ e $ K $ ammettono una base comune di vettori ortogonali diagonalizzante entrambe queste forme quadratiche.

Dunque, per capirci, abbiamo una base $u_1,\ldots,u_n$ tale che \[
\langle Mu_i, u_j\rangle = 0 \quad \text{se } i \neq j\] dove $\langle \rangle$ è il prodotto scalare standard. (La stessa cosa vale per $K$).

Una tale base è (necessariamente1) anche una base di autovettori per entrambe le matrici viste come semplici endomorfismi (giusto?)

Direi di no. Basta considerare \[M = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\] La base $M$-ortogonale data da $u_1 = (1,1)$ e $u_2 = (-1,2)$ non è una base di autovettori per $M$.