Identificazione chiusa e fibre (topologia)
Data $f:X \rightarrow Y$ una identificazione chiusa, con $X$ spazio topologico compatto di Hausdorff.
Ho un dubbio: posso affermare che dato $a\in Y$, allora $f^{-1}(a)$ è chiuso? Se sì, perché? Grazie in anticipo.
Ho un dubbio: posso affermare che dato $a\in Y$, allora $f^{-1}(a)$ è chiuso? Se sì, perché? Grazie in anticipo.
Risposte
CIa0, benvenut*;
se ho capito bene \(\displaystyle f\) è una funzione continua e iniettiva: i punti di una spazio di Hausdorff come sono?
se ho capito bene \(\displaystyle f\) è una funzione continua e iniettiva: i punti di una spazio di Hausdorff come sono?
Ciao, grazie per il benvenuto e per la risposta.
Tuttavia, riportando la definizione del libro, $f:X\rightarrow Y$ è un'identificazione se:
Tuttavia, riportando la definizione del libro, $f:X\rightarrow Y$ è un'identificazione se:
[*:1yc3wcev]$f$ è continua[/*:m:1yc3wcev]
[*:1yc3wcev]$f$ è suriettiva[/*:m:1yc3wcev]
[*:1yc3wcev]$A\subset Y$ è aperto in $Y$ se e solo se $f^{-1}(A)$ è aperto in $X$.[/*:m:1yc3wcev][/list:u:1yc3wcev]
Nessuna ipotesi sul fatto che sia iniettiva o meno.
Quindi moralmente $f^{-1}(a)$ non è necessariamente un punto...
Se \(f\) è continua e \(Y\) è almeno \(T_0\) allora \(f^{-1}(a)\) è chiuso. Sulle tue condizioni aggiuntive ci devo pensare. Che libro usi?
Manetti, Topologia, II ed, pag.97
Su $Y$ non ci sono ipotesi (eccetto quella che $A\subset Y$ è aperto in $Y$ se e solo se $f^{-1}(A)$ è aperto in $X$).
Infatti tutto ciò fa parte di una dimostrazione in cui la tesi è che $Y$ è di Hausdorff.
Su $Y$ non ci sono ipotesi (eccetto quella che $A\subset Y$ è aperto in $Y$ se e solo se $f^{-1}(A)$ è aperto in $X$).
Infatti tutto ciò fa parte di una dimostrazione in cui la tesi è che $Y$ è di Hausdorff.
Non avevo letto bene: \(\displaystyle X\) soddisfa l'assioma di separazione di Hausdorff...
Allora... lemma
Allora... lemma
Sia \(\displaystyle X\) uno spazio topologico compatto che soddisfa l'assioma di separazione di Hausdorff, allora \(\displaystyle X\) è uno spazio normale o \(\displaystyle\mathrm{T}_4\).Usando questo lemma (che ti invito a dimostrare) e le ipotesi su \(\displaystyle f\) concludi!
Io non sono convinto che questa cosa sia vera.
In sostanza si sta affermando che se $X$ e' compatto e $T_2$ (quindi almeno $T_4$, addirittura metrico se e' anche $N_2$) e $f :X \to Y$ e' una funzione suriettiva con la topologia quoziente di $f$ su $Y$ (la topologia piu' fine che rende $f$ continua), allora $Y$ e' almeno $T_1$.
Supponiamo $X$ connesso, compatto e $T_2$ (ma anche piu' bello; tipo $[0,1]$) e sia $A$ un aperto non banale di $X$. Sia \(Y = X/A\) il quoziente topologico e $f: X \to Y$ la proiezione sul quoziente, che soddisfa le ipotesi per definizione di quoziente topologico. Ma allora $A = f^{-1}([A])$ non e' chiuso in $X$. Dove sbaglio?
In sostanza si sta affermando che se $X$ e' compatto e $T_2$ (quindi almeno $T_4$, addirittura metrico se e' anche $N_2$) e $f :X \to Y$ e' una funzione suriettiva con la topologia quoziente di $f$ su $Y$ (la topologia piu' fine che rende $f$ continua), allora $Y$ e' almeno $T_1$.
Supponiamo $X$ connesso, compatto e $T_2$ (ma anche piu' bello; tipo $[0,1]$) e sia $A$ un aperto non banale di $X$. Sia \(Y = X/A\) il quoziente topologico e $f: X \to Y$ la proiezione sul quoziente, che soddisfa le ipotesi per definizione di quoziente topologico. Ma allora $A = f^{-1}([A])$ non e' chiuso in $X$. Dove sbaglio?
In genere quel quoziente si chiama collasso di \(\displaystyle X\) su \(\displaystyle A\), ma \(\displaystyle A\) dev'essere chiuso e non aperto; altrimenti non funziona, o almeno così ricordo...
Se $A$ e' chiuso il quoziente e' Hausdorff (e un sacco di belle proprieta' di $X$ passano a \(X/A\)).
Ma e' perfettamente lecito quozientare su un aperto, anche se il risultato e' brutto. In sostanza definisco un insieme \(X/A\) (come quoziente insiemistico, sulla relazione di equivalenza che identifica i punti di $A$) e gli do la topologia quoziente.
Quindi insomma...il punto e' che quello che si voleva dimostrare all'inizio, in generale, e' falso.
Ma e' perfettamente lecito quozientare su un aperto, anche se il risultato e' brutto. In sostanza definisco un insieme \(X/A\) (come quoziente insiemistico, sulla relazione di equivalenza che identifica i punti di $A$) e gli do la topologia quoziente.
Quindi insomma...il punto e' che quello che si voleva dimostrare all'inizio, in generale, e' falso.
Se fissiamo:
\[
X=[0,1];\\
A=]0,1[;\\
Y=\left\{\overline{0},\overline{A},\overline{1}\right\}
\]
ove su \(\displaystyle X\) consideriamo la topologia naturale, su \(\displaystyle A\) la topologia di sottospazio e su \(\displaystyle Y\) la topologia quoziente; si ha che su \(\displaystyle Y\) vi è la seguente topologia dei tre aperti:
\[
\mathcal{T}=\left\{\emptyset,\left\{\overline{A}\right\},Y\right\}.
\]
Però: solo \(\displaystyle\overline{0}\) e \(\displaystyle\overline{1}\) hanno contro-immagine un sottoinsieme chiuso di \(\displaystyle X\), mentre \(\displaystyle\overline{A}\) ha per contro-immagine un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle X\); è interessante notare che \(\displaystyle\overline{0}\) e \(\displaystyle\overline{1}\) non sono punti aperti o chiusi di \(\displaystyle Y\), eppure hanno contro-immagine chiusa; inoltre, \(\displaystyle Y\) ha un punto generico o punto grasso o punto denso e nessun punto chiuso.
Ciò che non funziona in questo esempio è che la proiezione di \(\displaystyle X\) su \(\displaystyle Y\) è un'identificazione (seconda la terminologia di HEDO) ma non è una funzione chiusa: \(\displaystyle0\) e \(\displaystyle1\) sono punti chiusi in \(\displaystyle X\) ma le loro classi di equivalenza non sono punti chiusi in \(\displaystyle Y\)!
Ignoro, per adesso, se si prende \(\displaystyle A\) come generico sottoinsieme aperto proprio di un generico spazio compatto di Hausdorff di \(\displaystyle X\) accade che la proiezione di \(\displaystyle X\) su \(\displaystyle Y=X/A\) non sia una funzione chiusa.
\[
X=[0,1];\\
A=]0,1[;\\
Y=\left\{\overline{0},\overline{A},\overline{1}\right\}
\]
ove su \(\displaystyle X\) consideriamo la topologia naturale, su \(\displaystyle A\) la topologia di sottospazio e su \(\displaystyle Y\) la topologia quoziente; si ha che su \(\displaystyle Y\) vi è la seguente topologia dei tre aperti:
\[
\mathcal{T}=\left\{\emptyset,\left\{\overline{A}\right\},Y\right\}.
\]
Però: solo \(\displaystyle\overline{0}\) e \(\displaystyle\overline{1}\) hanno contro-immagine un sottoinsieme chiuso di \(\displaystyle X\), mentre \(\displaystyle\overline{A}\) ha per contro-immagine un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle X\); è interessante notare che \(\displaystyle\overline{0}\) e \(\displaystyle\overline{1}\) non sono punti aperti o chiusi di \(\displaystyle Y\), eppure hanno contro-immagine chiusa; inoltre, \(\displaystyle Y\) ha un punto generico o punto grasso o punto denso e nessun punto chiuso.
Ciò che non funziona in questo esempio è che la proiezione di \(\displaystyle X\) su \(\displaystyle Y\) è un'identificazione (seconda la terminologia di HEDO) ma non è una funzione chiusa: \(\displaystyle0\) e \(\displaystyle1\) sono punti chiusi in \(\displaystyle X\) ma le loro classi di equivalenza non sono punti chiusi in \(\displaystyle Y\)!
Ignoro, per adesso, se si prende \(\displaystyle A\) come generico sottoinsieme aperto proprio di un generico spazio compatto di Hausdorff di \(\displaystyle X\) accade che la proiezione di \(\displaystyle X\) su \(\displaystyle Y=X/A\) non sia una funzione chiusa.
[ot]Ho la febbre: attenzione![/ot]
"j18eos":Senza cambiare i nomi, per le potesi \(\displaystyle x\in A\) è un punto chiuso di \(\displaystyle X\) ma la sua immagine in \(\displaystyle Y\) è punto aperto; quindi la proiezione di \(\displaystyle X\) su \(\displaystyle Y\) è un'identificazione non chiusa!
...Ignoro, per adesso, se si prende \(\displaystyle A\) come generico sottoinsieme aperto proprio di un generico spazio compatto di Hausdorff di \(\displaystyle X\) accade che la proiezione di \(\displaystyle X\) su \(\displaystyle Y=X/A\) non sia una funzione chiusa.
Capito. Quindi il mio errore stava nel fatto che la proiezione sul quoziente \(X/A\) con $A$ aperto non e' chiusa.
E mi torna che questo problema si verifica tutte le volte che $A$ non e' chiuso. Infatti se $A$ non e' chiuso e $p \in A$ allora $f^{-1}(f(p)) = A$ non e' chiuso, quindi $f(p)$ non e' chiuso (per la topologia quoziente) nonostante $p$ sia chiuso.
Gracias...capito l'errore.
E mi torna che questo problema si verifica tutte le volte che $A$ non e' chiuso. Infatti se $A$ non e' chiuso e $p \in A$ allora $f^{-1}(f(p)) = A$ non e' chiuso, quindi $f(p)$ non e' chiuso (per la topologia quoziente) nonostante $p$ sia chiuso.
Gracias...capito l'errore.
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